五级运算

在数学中，五级运算（亦称超-5运算）是迭代幂次之后和六级运算之前的超运算。五级运算被定义为迭代幂次的迭代，如同迭代幂次是幂的迭代一样。^[1]以下为首五级超运算级别：

1. 加法

   ${\displaystyle a[1]b=a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b}}$

2. 乘法

   ${\displaystyle a[2]b=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b}}$

3. 幂

   ${\displaystyle a[3]b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b}}$

4. 迭代幂次

   ${\displaystyle a[4]b={^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}}$

5. 五级运算

   ${\displaystyle a[5]b={_{b}a}=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a}}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b}}$

表达式x[5]2的前三个值。3[5]2的值约为7.626×10¹²，更大的x因表达式的值太大而无法显示在图表上

以上每一级超运算都是对上一级的迭代。例如，将五级运算和迭代幂次用超运算符号表示，${\displaystyle 2[5]3}$意味着2连续迭代取幂自己3次，即${\displaystyle 2[4](2[4]2)}$，可以计算出，${\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}$

符号

关于五级运算的符号几乎没有达成共识，因此，有许多不同的方法来表记。但是，有些符号的使用较其他符号更广泛，有些符号具有明显的优缺点。

• 五级运算可以超运算符号表示，如${\displaystyle a[5]b}$。在这种表记方法中，${\displaystyle a[3]b}$，即幂运算，可以解释为函数${\displaystyle x\mapsto a[2]x}$从1开始迭代${\displaystyle b}$次的结果；类似地，迭代幂次${\displaystyle a[4]b}$表示函数${\displaystyle x\mapsto a[3]x}$从1开始迭代b次的结果；五级运算${\displaystyle a[5]b}$表示函数${\displaystyle x\mapsto a[4]x}$从1开始迭代b次的结果。^[2][3]这也是本文大部分所使用的符号。

• 在高德纳箭号表示法中，${\displaystyle a[5]b}$表示为${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$或${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$。在这个记法中，${\displaystyle a\uparrow b}$表示幂运算，而${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$代表迭代幂次。通过继续添加箭头，该记法可以轻松地表记更高级的超运算。

• 在康威链式箭号表示法中，${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$。^[4]

• 另一个建议的符号是${\displaystyle {_{b}a}}$，尽管这不能扩展到更高级的超运算。^[5]

例子

五级运算的值也可以从阿克曼函数的变量值表的第四行中的值中获得：如果${\displaystyle A(n,m)}$由阿克曼递归关系${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$与初始条件${\displaystyle A(1,n)=an}$和${\displaystyle A(m,1)=a}$定义，那么${\displaystyle a[5]b=A(4,b)}$。^[6]

五级运算是迭代幂次的迭代，而其基本运算（迭代幂次）尚未扩展到非整数高度，所以五级运算${\displaystyle a[5]b}$当前亦仅对整数a和b有定义，其中a>0且b≥-1，以及一些其他可能有唯一定义的整数值。与所有三级（幂）及更高级的超运算一样，五级运算具有以下适用于所有定义域内a和b的值的基本恒等式：

• ${\displaystyle 1[5]b=1}$
• ${\displaystyle a[5]1=a}$

此外，我们还可以定义：

• ${\displaystyle a[5]0=1}$
• ${\displaystyle a[5](-1)=0}$

五级运算生成大数的速度非常快，因此只有极少数非平凡的情况可以得出可以用常规符号表记的数，如下表所记，其中${\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}$。

${\displaystyle x}$	${\displaystyle x[5]2}$	${\displaystyle x[5]3}$	${\displaystyle x[5]4}$
1	1	1	1
2	4	65,536	${\displaystyle \exp _{10}^{65533}(4.29508)}$
3	7,625,597,484,987	${\displaystyle \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
4	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.19)}$ （超过10153位）
5	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}$（超过10102184.1257220888位）

相关条目

• 阿克曼函数
• 大数
• 葛立恒数
• 大数的历史（英语：History of large numbers）

参考文献

1. Perstein, Millard H., Algorithm 93: General Order Arithmetic, Communications of the ACM, June 1962, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160.
2. Knuth, D. E., Mathematics and computer science: Coping with finiteness, Science, 1976, 194 (4271): 1235–1242, Bibcode:1976Sci...194.1235K, PMID 17797067, doi:10.1126/science.194.4271.1235.
3. Blakley, G. R.; Borosh, I., Knuth's iterated powers, Advances in Mathematics（英语：Advances in Mathematics）, 1979, 34 (2): 109–136, MR 0549780, doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5.
4. Conway, John Horton; Guy, Richard, The Book of Numbers, Springer: 61, 1996 [2021-06-20], ISBN 9780387979939, （原始内容存档于2021-07-04）.
5. 存档副本. [2021-06-20]. （原始内容存档于2021-05-06）.
6. Nambiar, K. K., Ackermann functions and transfinite ordinals, Applied Mathematics Letters, 1995, 8 (6): 51–53, MR 1368037, doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4.