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没有边界 来自维基百科,自由的百科全书
无穷,又称无限大,来自于拉丁文的“infinitas”,即“没有边界”的意思。其数学符号为∞。它在科学、神学、哲学、数学和日常生活中有著不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。
各种各样的数 |
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在神学方面,根据书面记载无穷这个符号最早被用于某些秘密宗教,通常代表人类中的神性,而书写此符号时两圆的不对等代表人神间的差距,例如神学家邓斯·司各脱(Duns Scotus)的著作中,上帝的无限能量是运用在无约束上,而不是运用在无限量上。在哲学方面,无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面,无穷又作为无限,很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。
在数学方面,无穷与下述的主题或概念相关:数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金无限集合、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中,无穷被认为是一个超越边界而增加的概念,而不是一个数。
最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀(公元前1200-900)。书中说:“如果你从无限中移走或添加一部分,剩下的还是无限。”
印度耆那教的经书《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把数分作三类:“可计的”、“不可计的”及“无限”。每一类再细分成三种阶:
现代科学家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿(Archimedes Palimpsest),在残卷《方法》命题14中,发现阿基米德开始计算无穷大的数目。他采取近似于19世纪微积分与集合论的手法,计算了两组无穷大的集合,以求和的方法,证明它们之间的数目是相等的。
这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。
伽利略最先发现一个集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。
他用上一一对应的概念说明自然数集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方数集{1,4,9,16,...}一样多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....
一一对应正是用于研究无限必要的手法。
无限大的符号是,其Unicode为U+221E ∞ INFINITY,在LaTeX中表示为\infty
。
无限大的符号是1655年由约翰·沃利斯开始使用[1][2],在开始使用后,也用在数学以外的领域,例如现代神秘主义[3]及符号学[4]。
莱布尼茨是提出许多有关其在数学中应用的猜测。对莱布尼茨而言,无穷大和无穷小量都是理想的实体,和一般数值的本质不同,不过有类似的性质[5][6]。
在实分析中,符号称为“无穷大”,代表无界极限。表示超出任意给定值,表示最终小于任意给定值。
一函数积分的结果可能会是无限大,若对于所有的t,f(t) ≥ 0,则[7]
无穷大也可以用来描述无穷级数:
若将标记为和的点加入到实数组成的拓扑空间,就产生实数集的“两点紧致化”。再加入代数属性,就得到了扩展的实数轴。也可将和作为一个点,记作,并得到实数的“一点紧致化”,也就是实射影线。射影几何在平面几何上引入无穷远线,在高维上也有类似概念。
在复变分析中符号是指没有正负号的极限值。是指x的大小 会超过任意给定的数值。可以在复数平面上加上无穷远点,变成一个拓扑空间,即为复数平面的一点紧化。若完成后,所得的平面是一维的复流形或黎曼曲面,称为黎曼球面。也可以定义在其上的代数运算(不过有一个例外,无限大不能和本身相加)。另一方面,有无限大表示可以除以零,而对于任何不为0的复数z,,因此可以将亚纯函数对映到黎曼球面上,只要将极点对应到无穷远点即可。复变函数的定义域也可以加入无穷远点,例如莫比乌斯变换的函数。
一般讲无穷指的都是无穷大,但是无穷小也是一种无穷。通过的映射即可把无穷大映射为无穷小。在微积分中,常用高阶无穷小的概念。
无穷远点是一个加在实数轴上后得到实射影直线的点。
在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出,对应于不同无穷集合的元素的个数(基数),有不同的“无穷”。
这里比较不同的无穷的“大小”的时候,唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断,而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系,它们就具有相同的基数。
例如,
无限维的空间常用在几何学及拓扑学中,尤其是在分类空间,也就是Eilenberg−MacLane空间。常见的例子包括无限维的复射影空间K(Z,2),以及无限维的实射影空间K(Z/2Z,1)。
分形的结构可以重复的放大,分形可以无限次的放大,但不会变的圆滑,而且仍维持原有的结构,分形的周长是无限的,有些的面积无限,但有些的面积却是有限。像科赫曲线就是有无限周长和有限面积的例子。
利奥波德·克罗内克怀疑无限的概念,也怀疑1870年代及1880年代时数学家使用无限的方式。这种怀疑主义形成一种称为有限主义的数学哲学,是属于数学结构主义及数学直觉主义中的一种极端形式[8]。
在物理上,实数的近似会用在连续量的量测上,自然数的近似会用在离散的量测上。因此科学家假设没有可观察量会到无穷的数值[来源请求],这是因为科学家很自然的,事实上已经是默认的接受了这样的事情:即在真实的物理场景里,是不存无穷大的可观测物理量的。例如在扩展的实数轴上取一个无穷的值,或是需要计算某个无穷次事件的次数。因此会预设没有任何物体会有无穷的质量或是能量。有些事物的概念和无限有关,例如无限平面波,但现今尚没有方法可以由实验产生无限平面波[9]。
IEEE 754浮点数标准中定义了正无限大及负无限大,定义为溢位、除以零或其他异常程序的结果。
像Java[10]及J语言[11]等程式语言允许在程式中直接用类似常数的方式存取正负无限大。正负无限大可以作为最大元,因为比所有其他的数都大(或是小)。正负无限大也可以做为像排序、搜寻或窗函数等演算法中的哨兵值,找到这个值时可以结束计算。
在一些没有最大或最小元素,但允许关系运算子多载的程式语言中,程式设计师也可以“创建”最大及最小元素。若语言不允许直接存取最大或最小元素,但有浮点数的形态,也可以用特定的运算产生正负无限大,再进行其他处理。
微软的 Visual Studio 用无穷大符号作为图标。
透视艺术使用了消失点或是无穷远点的概念.也就是放在观察者无穷远处的一个点。因此画家可以绘制有现实感空间及距离的作品[12]。艺术家莫里茨·科内利斯·埃舍尔就常将无穷的概念用在他的作品中。
认知科学家乔治·莱考夫将数学及科学中无限的概念视为一个隐喻。这个观点是基于简单的无限隐喻,定义为一直递增的数列<1,2,3,...>。
无限的符号常浪漫的表示永恒的爱,许多现代的珠宝就在其造型中加入无限的符号。
Crypton Future Media 的角色主唱系列中 CV-03 巡音流歌的人物形象即包含无穷大的符号以象征“循环、巡回”之意。