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1 − 2 + 3 − 4 + …
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在数学中,1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整数,依次加后又减、减后又加,如此反复所构成的无穷级数。它是交错级数,若以Σ符号表示前m项之和,可写作:
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此无穷级数发散,即其部分和的序列(1, −1, 2, −2, …)不会趋近于任一有穷极限。也就是说,单从极限的角度看的话,1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。不过,在18世纪中期,莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式:
该等式的严谨解释在很久以后才出现。自1890年起,恩纳斯托·切萨罗、埃米尔·博雷尔与其他一些数学家就在研究有哪些定义良好的方法,可以给发散级数赋予广义和[注 1]——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定1 − 2 + 3 − 4 + …的“和”为1⁄4。切萨罗求和是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法,因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和。
级数1 − 2 + 3 − 4 + …与格兰迪级数1 − 1 + 1 − 1 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例(其中n为任意自然数),这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作,同时也引出了我们现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。