魔方群

在数学中，魔方群是一个群 (G,·) 对应于集合G的所有魔方块正常转动可能形成的所有情形. 从完好魔方从发到任一种状态所经历的操作, 都与群元有一一对应的关系. ^[1][2].

魔方的所有可能重新排列形成一个群，叫做魔方群。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

对于一个3阶标准魔方, 除去中心块外一共有48个色块, 因此一个魔方状态可以由1-48的某种排列表示, 但由于魔方本身的几何结构约束, 并不是所有的序号排列都是合法的魔方状态. 在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一个置换. 因此, 3阶魔方群是置换群${\displaystyle S_{48}}$的子群, 并满足和置换群相同的运算规则.

和置换群相同, 魔方群是一个非阿贝尔群, 对魔方的操作不满足交换律.

魔方操作

一个3阶魔方包含${\displaystyle 6}$个面, 其中每个面有${\displaystyle 9}$个色块. 对魔方的一次原子级操作是将其中的某一个面顺时针旋转${\displaystyle 90^{\circ }}$, 分别记为${\displaystyle \{\mathbf {F} ,\mathbf {B} ,\mathbf {L} ,\mathbf {R} ,\mathbf {U} ,\mathbf {D} \}}$. 以右侧面为例, 逆时针旋转可以被记为${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$, 通常简记为${\displaystyle \mathbf {R} '}$. 特别指出, 不对魔方进行任何操作的操作被记为${\displaystyle \mathbf {E} }$, 是3阶魔方群的单位元.

同构

魔方群共有${\displaystyle 43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!={\frac {12!}{2}}\cdot 2^{12-1}\cdot 8!\cdot 3^{8-1}}$个元素，与下方此群同构，当中${\displaystyle A_{n}}$为交错群，${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$为循环群：

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$

参考条目

• 旋转方块

参考文献

1. Joyner, David. Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Johns Hopkins University Press. 2002. ISBN 0-8018-6947-1.
2. Davis, Tom. Group Theory via Rubik’s Cube (PDF). 2006 [2013-05-23]. （原始内容 (PDF)存档于2013-10-02）.