馀割

馀割（Cosecant，${\displaystyle \csc }$）是三角函数的一种。它的定义域不是${\displaystyle k\pi }$（或180°k，其中${\displaystyle k}$为整数）的整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）。

馀割
性质
奇偶性	奇
定义域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
到达域	${\displaystyle \left|\csc x\right|\geq 1}$
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
当x=0	∞
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	${\displaystyle x=k\pi }$ （x=180°k）
根	无实根
临界点	${\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}$ （180°k-90°）
不动点	当x轴为弧度时： ±1.11415714087193... （±63.8365018863243...°） ±2.77260470826599... （±158.858548041742...°） ±6.4391172384172... （±368.934241551242...°） ... 当x轴为角度时： ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ...
k是一个整数。

馀割是三角函数的馀函数（馀弦、馀切、馀割、馀矢）之一，所以在${\displaystyle 2k\pi }$（360°k）到${\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}}$（360°k+90°）的区间之间，函数是递减的，另外馀割函数和正弦函数互为倒数。

在单位圆上，馀割函数位于割线上，因此将此函数命名为馀割函数。

和其他三角函数一样，馀割函数一样可以扩展到复数。

符号史

余割的符号为${\displaystyle \csc }$，取自英文cosecant，其又源于拉丁文的cosecans及secans complementi。

定义

直角三角形中

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$为直角，${\displaystyle \angle A}$的角度为 ${\displaystyle \theta }$， 对于${\displaystyle \angle A}$而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角${\displaystyle \angle A}$的馀割定义为它的斜边与对边的比值，也就是：

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}}$

其定义与正弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$的余割定义为：

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，馀割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数：

${\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

与其他函数定义

馀割函数和正弦函数互为倒数

即：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$

级数定义

馀割也能使用泰勒级数来定义：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}$

其中${\displaystyle B_{2n}}$为伯努利数。

另外，我们也有

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{-n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}.}$

微分方程定义

${\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}$

指数定义

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

恒等式

和差角公式

${\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}}$

参见

• 数学主题

• 正弦
• 馀弦
• 正切
• 馀切
• 正割
• 三角学
• 三角函数
• 函数
• 正弦波