正割

正割（Secant，${\displaystyle \sec }$）是三角函数的一种。它的定义域是不含${\displaystyle k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}}$（或180°k+90°，其中${\displaystyle k}$为整数）的整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）。

正割
性质
奇偶性	偶
定义域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
到达域	${\displaystyle \left|\sec x\right|\geq 1}$
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	${\displaystyle x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}}$ （x=180°k+90°）
根	无实根
临界点	${\displaystyle k\pi }$ （180°k）
不动点	当x轴为弧度时： -2.07393280909121...[注 1] （-118.827596954637699...°） -4.487669603341...[注 2] （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871...[注 3] （281.734000600083215...°） 7.72415319239641...[注 4] （442.5613782368157...°） ... 当x轴为角度时： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°
k是一个整数。

正割是三角函数的正函数（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在${\displaystyle 2k\pi }$（360°k）到${\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}}$（360°k+90°）的区间之间，函数是递增的，另外正割函数和馀弦函数互为倒数。

在单位圆上，正割函数位于割线上，因此将此函数命名为正割函数。

和其他三角函数一样，正割函数一样可以扩展到复数。

符号史

正割的数学符号为${\displaystyle \sec }$，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$为直角，${\displaystyle \angle A}$的角度为 ${\displaystyle \theta }$， 对于${\displaystyle \angle A}$而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角${\displaystyle \angle A}$的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!}$

可以发现其定义和馀弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$的正割定义为：

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!}$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数：

${\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

与其他函数定义

正割函数和馀弦函数互为倒数

即：^[1]

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$

级数定义

正割也能使用泰勒级数来定义：

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.}$

其中${\displaystyle E_{n}}$为欧拉数。

另外，我们也有

${\displaystyle \sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.}$

微分方程定义

${\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x}$

${\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'}$

指数定义

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

恒等式

用其它三角函数来表示正割

函数	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle \csc }$
${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {1 \over \cos \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}$	${\displaystyle \sec \theta \ }$	${\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$

和差角公式

${\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}$

巴罗的正割积分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分

${\displaystyle \int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}$

注释

1. Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.
2. Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.
3. Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.
4. Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Secant. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

参见

• 数学主题

• 正弦
• 馀弦
• 正切
• 馀切
• 馀割
• 三角学
• 三角函数
• 函数
• 正弦波