雅可比旋转
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在数值线性代数中,雅可比旋转是 n 维内积空间的二维线性子空间的旋转 Qkℓ,在用做相似变换的时候,被选择来置零 n×n 实数对称矩阵 A 的非对角元素的对称对:
它是雅可比特征值算法的核心运算,它是数值上稳定的并适合用并行计算实现。
注意到只有 A 的行 k 和 ℓ 与列 k 和 ℓ 受到影响,并且 A′ 将保持对称。还有给 Qkℓ 的明显的矩阵很少被计算,转而计算辅助值,A 也有效率和数值上稳定的方式更新。但是,为了引用,我们写矩阵为
就是说,除了四个元素之外,Qkℓ 是一个单位矩阵,两个在对角线上(qkk 和 qℓℓ 都等于 c) 而两个位于远离对角的位置上(qkℓ 和 Qℓk 分别等于 s 和 −s)。这里的 c = cos ϑ 而 s = sin ϑ 对于某个角度 ϑ;但是对于应用这种旋转,这个角度自身是不需要的。使用克罗内克δ符号,矩阵元素可以写为
假设 h 是不为 k 或 ℓ 的索引(它们自身必须是不同的)。类似的更改过程在代数上写为