隐函数定理
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在数学分析中,隐函数定理是一个用来回答下面的问题的工具:以隐函数表示的多变量函数,这函数的变量在局部上是否存在显式的关系?隐函数定理说明,对于一个由关系 f(x, y)=0 表示的隐函数,如果它在某一点的偏微分满足某些条件,则在该点有邻域使得在该邻域内 y 可以表示成关于 x 的函数:
这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。
举一个简单例子:假设两个变量 x, y 满足隐函数 x2 + y2 − 1 = 0,此隐函数代表了平面上的单位圆,任取单位圆中的一点,那是否存在包含该点的邻域跟定义在邻域里的显函数 y=h(x) 去(局部的)描述这单位圆的图形?
答案是:除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 两点外,其他点局部上都有 y=h(x) 的显函数表达式。理由请看下面的隐函数定理。