在数学中,雅可比多项式 (英语:Jacobi polynomials,有时也被称为超几何多项式)是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普鲁士数学家卡尔·雅可比。
定义
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
关于多变量的雅可比多项式,请见“
黑科曼-欧普达姆多项式”。
雅可比多项式是从超几何函数中获得的,这个多项式列实际上是有限的:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e9e51a17de3666a18693c705746a76063a6581)
其中的
是阶乘幂符号(这里是指上升阶乘幂),(Abramowitz & Stegun p561 (页面存档备份,存于互联网档案馆))因此实际上的表达式是:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d300256b5937041d08607ee45aafae9e3c546e51)
当z等于1的时候,上式中的无穷级数只有第一项非零,这时得到:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea914c1a25729ba439473ae730691436177d86e)
这里对于每一个整数
![{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6668e8f4ff4bf4162d399a1ec429a3ab32ee40e)
而
是通常定义的伽马函数,其中约定,当整数n为小于零的时候:
![{\displaystyle {z \choose n}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6fc7cc037192b4a3beca01e192f1f70aec7d59)
这个多项式列满足正交性条件:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ed5359673c6e83a25ca9c03e463701ef4774c3)
其中
而且
。
这个多项式列还满足对称性的关系:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2600d9ed56e859d5a202e9e439a6cbf4512bfd0a)
因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74d400c2b4a877084a6640c2d549661e3916a0a)
对于实数
,雅可比多项式也可以写成另一种形式:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc513a6251b0d437f9b52da6134b2bfa2030fd9f)
其中
并且
。
有一个特殊的情形,是当以下四个量:
、
、
以及
都是非负的实数的时候,雅可比多项式可以写成如下形式:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d82730cbf4eb92d90abc188c0de9c6aed3dac0c)
其中
的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数
求和。
在这种情形下,以上表达式使得维纳d-矩阵
(
)可以写成用雅可比多项式表达的形式[1]:
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abcaf41d9baf29c60160c839c3d9e062c80ce9e)
导数
身为多项式的一种,雅可比多项式也是无限连续可微(可导)的函数。雅可比多项式的第k次导函数为:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa63a834344746d8b863181ede59fd9a4bf4115f)
微分方程
雅可比多项式
是以下的二阶齐次线性常微分方程的解:
![{\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81284644380f0be4e43ce3c3fb005f92000d9dad)
参见
注释
L. C. Biedenharn and J. D. Louck,
Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
参考来源
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 (页面存档备份,存于互联网档案馆)", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm (页面存档备份,存于互联网档案馆) .
- Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-62321-6, ISBN 978-0-521-78988-2, MR1688958
- Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials (页面存档备份,存于互联网档案馆)", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255