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在数论中,裴蜀等式(英语:Bézout's identity)或贝祖定理(Bézout's lemma)是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数 、 和 ,关于未知数 和 的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):
有整数解时当且仅当 是 及 的最大公约数 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解 、 都称为裴蜀数,可用扩展欧几里得演算法求得。
例如,12 和 42 的最大公因数是 6,则方程 有解。事实上有 、等。
特别来说,方程 有整数解当且仅当整数 和 互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义: 其实就是最小的可以写成 形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。
历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀,而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》(Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres)第二版中给出了问题的描述和证明[1]。
对任意两个整数、,设是它们的最大公约数。那么关于未知数和的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):
有整数解 当且仅当是的整数倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。
如果 和 中有一个是0,比如,那么它们两个的最大公约数是。这时裴蜀等式变成,它有整数解当且仅当是的倍数,而且有解时必然有无穷多个解,因为可以是任何整数。定理成立。
以下设和 都不为0。
设,下面证明中的最小正元素是与的最大公约数。
首先, 不是空集(至少包含和),因此由于自然数集合是良序的,中存在最小正元素。考虑中任意一个正元素()对的带余除法:设,其中为正整数,。但是
因此 ,。也就是说,中任意一个正元素都是 的倍数,特别地:、。因此 是和的公约数。
另一方面,对和的任意正公约数,设、 ,那么
因此。所以是和的最大公约数。
在方程中,如果 ,那么方程显然有无穷多个解:
相反的,如果有整数解,那么,于是由前可知 (即 )。
时,方程有解当且仅当、互质。方程有解时,解的集合是
所有解中,恰有二解满足及,等号只会在及其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。
丢番图方程 没有整数解,因为504和651的最大公约数是21。而方程是有解的。为了求出通解,可以先约掉公约数21,这样得到方程:
通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解:。
于是通解为:,即
设为个整数,是它们的最大公约数,那么存在整数 使得 。特别来说,如果互质(不是两两互质),那么存在整数 使得 。
为域时,对于多项式环里的多项式,裴蜀定理也成立。设有一族里的多项式。设为它们的最大公约式(首项系数为1且次数最高者),那么存在多项式使得。特别来说,如果互质(不是两两互质),那么存在多项式使得。
对于两个多项式的情况,与整数时一样可以得到通解。
裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环是主理想环,和为环中元素,是它们的一个最大公约元,那么存在环中元素和使得:
这是因为在主理想环中,和的最大公约元被定义为理想的生成元。
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