表达式(expression)此处是数学表达式(mathematical expression)的简称,在数学领域中是一些符号依据上下文的规则,有限而定义良好的组合。数学符号可用于标定常量、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组,帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。
表达式随语境或不同领域学科也称:表示式、数学式、运算式(operation expression)、表式、陈式、算式;数学术语若是复合词,表达式也常简作“式”;例如:代数式(algebraic expression)、渐近式(asymptotic expression)。
范例
表达式有简单的,例如:
- (线性多项式)
- (二次多项式)
- (有理分式)
也有复杂的:
各种表达式的分类列表
数学表达式的各种形式包括了算术、多项式、代数、闭合形式和解析的表达式。下表列出了这些种类中所可能包含的元素。
算式 | 多项式 | 代数式 | 闭合形式 | 解析式 | 数学表达式 | |
---|---|---|---|---|---|---|
常量 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
变数 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
四则运算 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
阶乘 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
整数指数幂 | 否 | 是 | 是 | 是 | 是 | 是 |
N次方根 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 | 是 |
有理数幂 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 | 是 |
实数指数幂 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
对数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
三角函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
反三角函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
双曲函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
反双曲函数 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 | 是 |
Γ函数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
Bessel函数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
特殊函数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
连分数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
级数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 | 是 |
形式幂级数 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
微分 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
极限 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
积分 | 否 | 否 | 否 | 否 | 否 | 是 |
语法与语义
表达式是一个句法结构,它必须具有良好定义的形式。表达式中的运算符必须在正确位置有正确的输入数,组成这些输入的字符必须是有效的,具有明确的运算次序等。违反语法规则的字符,不会构成有效的数学表达式。例如,在一般算术符号中,表达式 1 + 2 × 3 是形式良好的,而下面的表达式则不是:
- .
表达式的语义是对语句意义的研究,逻辑语义学是关于所传达的意义。在代数中,可用表达式指定一个值;而这个结果值取决于对式中变量所赋予的值,经由附加语义的运算符操作后以确定该值。语义的选择则根据表达式的上下文。同一个表达式 1 + 2 × 3 可能会有不同结果(依算数惯例的结果为7,也可能是9),这取决于上下文中隐含的运算次序。
语义规则可以声明某些表达式并无指定值(例如,当它们除以0时);对这表达式称为未定义,但它们仍然以良好的形式表现出来。广义来说,表达式的意义并不局限于指定值;例如,表达式可用于指定条件,表示要被求解的方程,或将其视为可根据某些规则而操作的对象。有指定值的表达式同时也代表了有假设前提,例如与运算符有关的假设前提,会指定一个内部的直接和(direct sum)。
表达式和其赋值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其演算中被公式化。演算对现代数学和电脑程式语言的发展都曾有过重大的影响。
演算有著一个更有趣的推论,在某些情况之下,两个表达式的等值与否是无法决定的。而且这个推论在任一和演算有同样功用的系统内也都是成立的。
变量
许多数学表达式中包括变量,变量又区分为自由变量或约束变量两种。对于自由变量赋值的一给定组合,进行对表达式的评估,然而这些赋值的某些组合在评估整句表达式后的结果,可能没有定义。因此一个表达式表示一个函数,其输入是赋予自由变量的值,其输出是表达式的结果值。
举例来说,表达式 ,分别使自由变数 和 定值为 和 ,其输出为数字 ;
但注意在 值为 时,则这表达式没有定义。
数学表达式的评估取决于上下文背景对式中运算符的定义,赋值的定义域和评估结果的域。如果两个表达式之中的变量,对于它们赋值的每一种组合都产生相同的输出,则这两个表达式被认定为相等,即它们实为相同的函数。
例如,表达式 有自由变数 、约束变数 、常数 、两个内含的乘法算符和一个总和算符。
此一表达式和另一较简单的表达式 相等。 时的值为 。
参见
外部链接
- Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
- Plot mathematical expressions (页面存档备份,存于互联网档案馆) this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.