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空间 (数学)
具有一些附加结构的数学集合 / 维基百科,自由的 encyclopedia
数学上,空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合(有时称为全集)。在初等数学或中学数学中,空间通常指三维空间。 现代数学使用了多种类型的空间,如欧几里得空间、线性空间、拓扑空间、希尔伯特空间或概率空间,但并不存在单称为“空间”的数学物件。[1][a]
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空间由被视为点的数学对象和点之间的关系组成。 点的性质可以千差万别:例如,点可以是集合的元素,另一个空间上的函数,也可以是另一个空间的子空间。点之间的关系决定了空间的性质,更确切地说一般认为同构空间完全相同,空间之间的同构是点之间的一一对应关系。例如,欧几里得公理唯一确定了三维欧几里得空间各点之间的关系,[b]所以所有三维欧几里得空间都是相同的。
数学对象应被视为几何“空间”还是代数“结构”,并不总是很清楚。尼古拉·布尔巴基[2]提出了结构的一般定义,包括了所有常见的空间类型,提供了同构的一般证明方法,并证明了同构结构之间的性质转移是合理的。