洛朗级数
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在数学中,复变函数f(z)的洛朗级数(英语:Laurent series),是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由皮埃尔·阿方斯·洛朗在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人,但他1841年的论文在他死后才发表于世。[1]
函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出:
其中an是常数,由以下的曲线积分定义,它是柯西积分公式的推广:
积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线,把c包围起来,在这个圆环内是全纯的(解析的)。的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。在右边的图中,该环用红色显示,其内有一合适的积分路径 。如果我们让是一个圆 ,其中 ,这就相当于要计算的限制到上的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。
在实践中,上述的积分公式可能不是计算给定的函数系数最实用的方法;相反,人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数。因为函数的洛朗展开式只要存在就是唯一的 ,实际上在圆环中任何与相等的,以上述形式表示的给定函数的表达式一定就是的洛朗展开式。