扭棱四面体

在几何学中，扭棱四面体是指正四面体经过扭棱变换后所形成的多面体。其拓朴结构与正二十面体等价。一般会将这种立体的面分为3组，一组是原始四面体的面，另一组是来自原像之顶点图的面，另一组是扭棱变换过程中所形成的面。若两组面构成的三角形不全等，其结果立体将会变成一个外观与正二十面体非常相似，但不相同的立体，因此又称伪正二十面体^[1]，其具备五角十二面体（黄铁矿晶型）对称性^[2]。部分文献将这种立体称为扭棱八面体（snub octahedron）^[3]、扭棱截半四面体（或扭棱四-四面体，snub tetratetrahedron）^[4]。部分矿石的晶体结构会结晶成这种形状。^[5]

扭棱四面体

类别	凸多面体
对偶多面体	五角十二面体
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	(五角十二面体对称) (四面体对称)
性质
面	20
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
组成与布局
面的种类	8个正三角形 12个等腰三角形
对称性
对称群	Th, [4,3+], (3*2), order 24
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	Td, [3,3]+, (332), order 12
特性
凸
图像
五角十二面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

这个立体是五角十二面体的对偶多面体。^[6]

性质

扭棱四面体是一种二十面体，由20个三角形组成。扭棱四面体可以视为四面体经过扭棱变换所形成的立体，在扭棱的过程中会形成3种面，一种是原始四面体的面、另一种是来自原像顶点图的面、还有一种是扭棱变换过程中所形成的面。若这三种面皆全等，整个立体将与正二十面体无异。^[7][8]

四面体扭棱成扭棱四面体的过程， 其中蓝色的面代表原始四面体的面； 红色的面代表来自原像顶点图的面； 白色的面代表扭棱变换过程中所形成的面

拓朴结构

扭棱四面体的拓朴结构与正二十面体等价^[5]。若将四面体扭棱过程中所形成的面两两合并为1个菱形，则其拓朴结构与截半立方体相同。^[4]

顶点座标

这种立体的顶点座标可以用${\displaystyle (\pm 2,\pm 1,0)}$的循环排列来构造，这个顶点排构建方式又可视为是交错截角的截角八面体，其与耶森二十面体相同，但顶点间相连方式不同^[9]。而若取${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 1,0)}$则会变为正二十面体，其中${\displaystyle \varphi }$为黄金比例。^[1]

耶森二十面体

主条目：耶森二十面体

耶森二十面体是一个与扭棱四面体相同顶点排列方式的立体，但耶森二十面体顶点间的相连方式与扭棱四面体不同。耶森二十面体是非凸多面体，并具有直角的二面角。^[10]

对偶多面体

主条目：五角十二面体

五角十二面体

这种立体因为外观与正二十面体十分类似，但不是正多面体因此又被称为伪正二十面体。其对偶多面体也非常类似正二十面体的对偶多面体——正十二面体，然而其也不是正多面体。这种立体的对偶多面体为五角十二面体，是一种由12个不等边五边形组成的十二面体，具有四面体群对称性。其与正十二面体类似，皆是由12个全等的五边形组成，且每个顶点都是3个五边形的公共顶点^[11]，但由于其面不是正多边形，其顶点的排布未能达到五折对称性，因此不属于正多面体。部分的化学物质或矿石^[12]其晶体形状是这种形状，例如黄铁矿和部分的天然气水合物^[13]。其英文名称Pyritohedron是来自黄铁矿的英文pyrite以及多面体的字尾-hedron命名的。^[14]

相关多面体

扭棱立体

原像	正四面体	立方体	正八面体	正十二面体	正二十面体
扭棱	扭棱四面体 sr{3,3}
		扭棱立方体 sr{4,3}	扭棱八面体 sr{3,4}	扭棱十二面体 sr{5,3}	扭棱二十面体 sr{3,5}
完全扭棱	完全扭棱四面体 β{3,3}	完全扭棱立方体 β{4,3}	二复合二十面体 β{3,4}	完全扭棱十二面体 β{5,3}	完全扭棱二十面体 β{3,5}

参见

• 扭棱锲形体
• 五角十二面体
• 正二十面体