完全扭棱二十面体

完全扭棱二十面体（holosnub icosahedron）又称小扭棱二十面二十面十二面体（small snub icosicosidodecahedron），其索引为U₃₂，是正二十面体的完全扭棱（holosnub）立体^[7]，在施莱夫利符号中可以用ß{3,5}来表示^[8]，由100个正三角形和12个五边形组成，其星状核为截角五角化十二面体（英语：Truncated pentakis dodecahedron），对偶多面体为小六角六十面体（英语：Small hexagonal hexecontahedron）。^[3]

完全扭棱二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小六角六十面体（英语：Small hexagonal hexecontahedron）
识别
名称	完全扭棱二十面体 Small snub icosicosidodecahedron
参考索引	U32, C41, W110
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	seside
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	[1][2] [1]
施莱夫利符号	ß{3,5}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 3 3 5⁄2[3] | 5⁄2 3 3[4][5][6]
性质
面	112
边	180
顶点	60
欧拉特征数	F=112, E=180, V=60 （χ=-8）
组成与布局
面的种类	100个正三角形 12个正五角星
顶点图	5⁄2.35
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
5⁄2.35 （顶点图） 小六角六十面体（英语：Small hexagonal hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

完全扭棱二十面体共有20对共面的正三角形，每对外观呈非正的星形六边形，这个外观类似星形六边形的面共有20个，对应到正二十面体的20个面，而使整个立体看起来由正三角形、六角星和五角星组成。^[9]:172

40个非扭棱三角形面是来自于20组的共面三角形，每组三角形所形成的六角星皆非正六角星^[9]:172，剩馀的60个三角形来自于扭棱变换。特别地，这个扭棱多面体与其他扭棱多面体不同，其具有镜像对称性。

性质

完全扭棱二十面体共由112个面、180条边和60个顶点组成^[10][11][4]。在其112个面中，有100个正三角形面和12个正五边形面^[12]，其中40个正三角形面俩俩一组互相共面形成星形六边形，所形成的星形六边形面凸包和五角星面凸包呈现于其整体凸包上^[13]，其中星形六边形面凸包所对应的六边形是等角六边形，若完全扭棱二十面体的边长为单位长，则星形六边形对应凸包之等角六边形与五角星对应凸包之五边形相邻边的边长为黄金比例的倒数，约为0.61803，星形六边形对应凸包之等角六边形的另一边长则为${\displaystyle {\tfrac {1-\varphi +{\sqrt {3\varphi -2}}}{2}}}$约为0.535687，其中，${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例。

其60个顶点，每个顶点都是5个三角形和1个五角星的公共顶点，在顶点图中可以用(3.⁵⁄₂.3.3.3.3)^{[14][10][15][16]}或[⁵⁄₂,3⁵]^[17]来表示。

若将完全扭棱二十面体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有212个外部面^[18]。

表示法

完全扭棱二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[1][2]或（β3β5o）^[1]。在施莱夫利符号中可以表示为ß{3,5}。在威佐夫记号中可以表示为| 3 3 ⁵⁄₂^[3]或| ⁵⁄₂ 3 3^[4][5][6]。

二面角

完全扭棱二十面体有两种二面角，分别为三角形面与三角形面的二面角以及五角星面与三角形面的二面角。^[12]

其中三角形面与三角形面的二面角约为155.668度：^[12]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {5}}}}{3}}\right)\approx 2.716919863\approx 155.668041429^{\circ }}$

而五角星面与三角形面的二面角约为161.02度：^[12]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(15-2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {5\left(6{\sqrt {5}}-13\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.810374243\approx 161.022582986^{\circ }}$

尺寸

若完全扭棱二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[12][3]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {13+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {2\left(51+23{\sqrt {5}}\right)}}}}{4}}\approx 1.4581903307387}$

凸包

完全扭棱二十面体的凸包是一个非均匀的截角二十面体，其六边形面由等角但不等边的六边形组成。^[13]

截角二十面体 (正多边形面)

凸包 (等角六边形面)

完全扭棱二十面体

顶点座标

完全扭棱二十面体的顶点座标为下列座标的偶置换：^[12]

${\displaystyle \left(\pm \left(1-\varphi +\alpha \right),0,\pm \left(3+\varphi \alpha \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(\varphi -1+\alpha \right),\pm 2,\pm \left(2\varphi -1+\varphi \alpha \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(\varphi +1+\alpha \right),\pm 2\left(\varphi -1\right),\pm \left(1+\varphi \alpha \right)\right)}$

其中，${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例，而${\displaystyle \alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}}$。

相关多面体

完全扭棱立体

原像	正四面体	立方体	正八面体	正十二面体	正二十面体
完全扭棱	完全扭棱四面体 β{3,3}	完全扭棱立方体 β{4,3}	二复合二十面体 β{3,4}	完全扭棱十二面体 β{5,3}	完全扭棱二十面体 β{3,5}

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）
• 小反屈扭棱二十面截半二十面体

参考文献

1. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
2. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-16]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
3. Weisstein, Eric W. (编). Small Snub Icosicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. V.Bulatov. small snub icosicosidodecahedron. [2022-08-16]. （原始内容存档于2021-02-28）.
5. Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra (PDF). Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57–110 [2022-08-16]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-19）.
6. Eric W. Weisstein. Small Snub Icosicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-16]. （原始内容存档于2021-12-05）.
7. Engaging with Insight of a Higher Order (PDF). plasticites-sciences-arts.org. [2022-08-16]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-16）.
8. Klitzing, Dr. Richard. Snubs, Alternated Facetings, and Stott-coxeter-dynkin Diagrams. Symmetry: Culture and Science. 2010-01, 21: 329–344. 引文格式1维护：日期与年 (link)
9. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
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11. Gijs Korthals Altes. Paper Small Snub Icosicosidodecahedron. polyhedra.net. [2022-08-16]. （原始内容存档于2022-08-16）.
12. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Small Snub Icosicosidodecahedron. [2022-08-16]. （原始内容存档于2022-02-14）.
13. Jürgen Meier. 11.7. Small Snub Icosicosidodecahedron. 3d-meier.de. [2022-08-16]. （原始内容存档于2021-09-28） （德语）.
14. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #37, small snub icosicosidodecahedron. harel.org.il. [2022-08-16]. （原始内容存档于2022-08-16）.
15. Izidor Hafner. Mazes for Superintelligent (PDF). [2022-08-16]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-16）.
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17. Richard Klitzing. seside, small snub icosicosidodecahedron, snub disicosidodecahedron, holosnub icosahedron. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2022-04-08）.
18. Robert Webb. Small Snub Icosicosidodecahedron. software3d.com. [2022-09-03]. （原始内容存档于2022-09-03）.