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在数学中,四维凸正多胞体(英语:convex regular polychoron)是指一类既是凸的又是正的的四维多胞体(4-多胞形)。它们是正多面体(三维)和正多边形(二维)的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现,其中五个与五个柏拉图立体一一对应,另外一个(正二十四胞体)没有好的三维类比。
下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性,表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群,形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群;及这个群的阶。
名称 | 家族 | 施莱夫利 符号 |
顶点 | 边 | 面 | 胞 | 顶点图 | 对偶 | 对称群 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
正五胞体 超棱锥 超正四面体 四维单纯形 |
单纯形 (n-单纯形) |
{3,3,3} | 5 | 10 | 10 正三角形 |
5 正四面体 |
正四面体 | (自身对偶) | A4 | 120 |
正八胞体 超正方体 超立方体 四维立方体 |
立方形 (n-立方形) |
{4,3,3} | 16 | 32 | 24 正四边形 |
8 正六面体 |
正四面体 | 正十六胞体 | B4 | 384 |
正十六胞体 超正八面体 四维正轴形 |
正轴形 (n-正轴形) |
{3,3,4} | 8 | 24 | 32 正三角形 |
16 正四面体 |
正八面体 | 正八胞体 | B4 | 384 |
正二十四胞体 截半正十六胞体 重正八面体 |
(没有好的其他维度类比) | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 正三角形 |
24 正八面体 |
正六面体 | (自身对偶) | F4 | 1152 |
正一百二十胞体 超正十二面体 重正十二面体 |
正十二面体形 类五边形形 (n-类五边形形) |
{5,3,3} | 600 | 1200 | 720 正五边形 |
120 正十二面体 |
正四面体 | 正六百胞体 | H4 | 14400 |
正六百胞体 重正四面体 超正二十面体 |
正二十面体形 类二十面体形 (n-类二十面体形) |
{3,3,5} | 120 | 720 | 1200 正三角形 |
600 正四面体 |
正二十面体 | 正一百二十胞体 | H4 | 14400 |
这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面(S3)同胚的单连通多胞体,所以它们的欧拉示性数都为0,因此我们有以下欧拉公式的四维类比:
其中代表零维顶点数,代表一维棱数,代表二维面数,代表三维胞数。
以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影(更多图像可以在各自的页面里找到)。表头给出了多胞体的施莱夫利符号和考克斯特符号。
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