双线性形式

在域 F 中,向量空间 V 的双线性形式指的是一个V × V → F 上的线性函数 B, 满足：

${\displaystyle \forall v\in V}$，映射：

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

${\displaystyle w\mapsto B(w,v)}$

都是线性的。这个定义也适用于交换环的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一个双线性形式是特别的双线性映射。

坐标表示法

如果V是n维向量空间，设${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$是V的一组基。定义${\displaystyle n\times n}$ 阶的矩阵A使得${\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})}$。当${\displaystyle n\times 1}$ 的矩阵x和y表示向量u及v时，双线性形式B可表示为:

${\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }$

考虑另一组基 ${\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$ ，其中S是一个可逆的${\displaystyle n\times n}$ 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在${\displaystyle C'}$下的矩阵${\displaystyle A'}$的形式为：

${\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}$

对偶空间映射

V的每一个双线性形式B都定义了一对由V射到它的对偶空间V*的线性函数。 定义${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ ：

${\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}$

常常记作：

${\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}$

这里的(–)是放变量的位置。

如果 V是有限维空间的话，V和它的双对偶空间V**是同构的，这时B₂是B₁ 的转置映射（如果V是无限维空间，B₂限制在V在V**的像下的部分是B₁ 的转置映射）。 定义B的转置映射为双线性形式：

${\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}$

如果 V是有限维空间，B₁ 及B₂ 的秩相等。如果他们的秩等于V的维数的话，B₁ 和 B₂ 就是由V到V*的同构映射（显然B₁是同构当且仅当B₂ 是同构），此时，B是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：B是非退化的当且仅当

${\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}$

镜像对称性和正交性

双线性形式 B : V × V → F 是镜像对称的当且仅当:

${\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}$

有了镜像对称性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像对称的双线性形式正交当且仅当：

${\displaystyle B(v,w)=0\,}$ 。

一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当${\displaystyle Ax=0\,}$（等价于${\displaystyle x^{T}A=0\,}$），根一般是V的子空间，

当A是非奇异矩阵，即当B是非退化时，根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间，定义${\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}$。

当B是非退化时，映射${\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}$是双射，所以${\displaystyle W^{\perp }}$的维数等于dim(V)-dim(W)。

可以证明，双线性形式B是镜像对称的当且仅当它是以下两者之一：

• 对称的: ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,}$ ${\displaystyle \forall v,w\in V\,}$
• 交替(alternating)的: ${\displaystyle B(v,v)=0\,}$ ${\displaystyle \forall v\in V\,}$

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

B(v+w,v+w)就可看出。

当F的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char(F)=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ 相等，是旋钮对称的当且仅当${\displaystyle B_{1}=-B_{2}}$。char(F) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

${\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}$

其中B* 是B 的转置映射。

不同空间的推广

这套理论有很大一部份可推广到双线性映射的情形：

B: V × W → F.

此时仍有从 V 到 W 的对偶、及从 W 到 V 的对偶的映射。当 V, W 皆有限维，则只要其中之一是同构，另一个映射也是同构。在此情况下 B 称作完美配对。

张量积关系

由张量积的泛性质，${\displaystyle V}$ 上的双线性形式一一对映至线性映射 ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}$：若 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle V}$ 上的双线性形，则相应的映射由下式给出

${\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}$

所有从 ${\displaystyle V\otimes V}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的线性映射构成 ${\displaystyle V\otimes V}$ 的对偶空间，此时双线性形式遂可视为下述空间的元素：

${\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}$

同理，对称双线性形式可想成二次对称幂 S²V* 的元素，而交代双线性形式则可想成二次外幂 Λ²V* 的元素。

参见

• 双线性映射
• 多线性映射
• 二次方程式
• 半双线性形式

外部链接

• Bilinear form. PlanetMath.