乘法群

数学与群论中，乘法群指下列概念之一：

• 域、环或运算中含有“乘法”的其他结构，可逆元素形成乘法下的群。对域F，群是${\displaystyle (F\backslash \{0\},\ \cdot )}$，其中0指F的零元，二元运算${\displaystyle \cdot }$是域乘法；
• 代数环面${\displaystyle {\rm {GL}}(1)}$。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

例子

• 整数模n乘法群是${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的可逆元与乘法形成的群。n是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。
• 正数${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$的乘法群是阿贝尔群，1是其单位元。对数是此群到实数${\displaystyle \mathbb {R} }$加法群的群同构。
• 域F的乘法群是乘法下所有非零元的集合：${\displaystyle F^{\times }=F-\{0\}}$。若F是q阶有限域（如${\displaystyle q=p}$是素数，且${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$），则乘法群是循环群：${\displaystyle F^{\times }\cong C_{q-1}}$。

单位根的群概形

n次单位根的群概形是乘法群${\displaystyle {\rm {GL}}(1)}$上n次幂映射的核，可视作群概形。即，对任意整数${\displaystyle n>1}$，可考虑乘法群上取n次幂的态射，并取适当的纤维积，其中态射e充当单位。

产生的群概形写作${\displaystyle \mu _{n}}$（或${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}}$^[1]）。当且仅当K的特征不整除n时，将其放在域K上会产生既约概形，这使其产生未约概形（幂零元在其结构层中的概形）的一些重要例子，如p元有限域上的${\displaystyle \mu _{p}}$，p表示任意素数。

此现象不易用代数几何的经典语言表达。例如，它在表达特征p中的阿贝尔簇的对偶理论（皮埃尔·卡地亚的理论）时就显得非常重要。此群概形的伽罗瓦上同调是表示库默尔理论的一种方式。

另见

• 整数模n乘法群
• 加法群

注释

1. Milne, James S. Étale cohomology. Princeton University Press. 1980: xiii, 66.

参考文献

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0