挠群

在数学分支的群论中，挠群（torsion group）或周期群（periodic group）指的是所有元素的阶都是有限的群；而此类群的指数，在存在的状况下，指的是这个群的所有元素的阶的最小公倍数。

像例如根据拉格朗日定理，所有的有限群都是周期群，且其指数是这个群的阶的倍数。

无限群例子

无限周期群包括了有限域上的多项式环的加法群、以及有理数在整数上的商群，及其直和的被加群，也就是所谓的普吕弗群（英语：Prüfer group）。另一个例子是所有二面体群的直和所构成的群。而上述的这些例子都不具有有限的生成元。

一个有限生成的无限周期群的实例由戈罗德（Golod）所建构，^[1]而他的结果是与沙法列维奇合作得到的，详情可见戈罗德－沙法列维奇定理（英语：Golod–Shafarevich theorem）一文的说明；另一个例子则由Aleshin^[2]和Grigorchuk^[3]利用自动机理论建构。而上述的集合都有着无限大的指数；而一个指数有限的例子是由奥利尚斯基（Olshanskii）所建构的塔斯基怪兽群（英语：Tarski monster group）。^[4]

伯恩赛德问题

主条目：伯恩赛德问题

伯恩赛德问题是在只考虑有限生成群的状况下，关于周期群以及有限群之间关系的经典问题，其叙述如次：有特定的指数就意味着有限吗？而如前段所言，无限阶的有限生成群的存在，代表对于任意的指数而言，这答案是否定的；然而尽管对于什么样的指数可以出现在无限阶有限生成群中的问题已有更多了解，这问题依旧有尚未解决的部分。

对于诸如线性群等部分种类的群而言，伯恩赛德问题的答案是肯定的。

数理逻辑

周期群的一个有趣的性质是其定义不能以一阶逻辑表述，而这是因为若要这样做的话，就会需要以下的公设：

${\displaystyle \forall x,{\big (}(x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots {\big )}}$

但这样的公设包含了无限多个逻辑或因此是不可接受的：一阶逻辑允许一个类的量化但不能得到这个类的子集的性质；此外要利用无限多个公设来规避无限多个逻辑或也是不可能的：紧致性定理说明了没有任何一阶逻辑公式可以表达周期群的性质。^[5]

相关概念

交换群A的挠子群是包含A所有的有限阶元素的子群。挠交换群（英语：torsion abelian group）是一个所有元素的阶都有限的交换群；而无挠交换群（英语：torsion-free abelian group）则是一个只有单位元的阶是有限的交换群。

参见

• 扭化
• 若尔当－舒尔定理（英语：Jordan–Schur theorem）

注解

1. E. S. Golod, On nil-algebras and finitely approximable p-groups, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964) 273–276.
2. S. V. Aleshin, Finite automata and the Burnside problem for periodic groups, (Russian) Mat. Zametki 11 (1972), 319–328.
3. R. I. Grigorchuk, On Burnside's problem on periodic groups, Functional Anal. Appl. 14 (1980), no. 1, 41–43.
4. A. Yu. Olshanskii, An infinite group with subgroups of prime orders, Math. USSR Izv. 16 (1981), 279–289; translation of Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321
5. Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W. Mathematical logic 2. ed., 4. pr. New York [u.a.]: Springer. 1994: 50 [18 July 2012]. ISBN 978-0-387-94258-2. However, in first-order logic we may not form infinitely long disjunctions. Indeed, we shall later show that there is no set of first-order formulas whose models are precisely the periodic groups.

• R. I. Grigorchuk, Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means., Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48:5 (1984), 939–985 (Russian).