西尔维斯特方程(英语:Sylvester equation)是控制理论中的矩阵方程,形式如下[1]:
其中、及是已知矩阵,n与m可以相等。方程中所有矩阵的系数都是复数。西尔维斯特方程有唯一解X的充要条件是A与-B没有共同的特征值。
AX+XB=C也可以视为是(可能无穷维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要条件几乎相同:唯一解X的充份必要条件是A和-B的谱不互交[2]。
利用克罗内克积以及向量化量子,可以改写西尔维斯特方程为
其中为单位矩阵。在此形式下,可以将问题改为维的线性系统[3]。
- 命题
假定复数的矩阵和,西尔维斯特方程针对任意有唯一解,若且唯
若和没有共同的特征值。
- 证明
考虑线性转换,.
(i)假设和没有共同的特征值,则其特征方程式 和的最大公因式为,因此存在复数多项式和,使得。依照Cayley–Hamilton定理,;因此。令为的解,则,重复上述作法,可得。因此依照秩-零化度定理,是可逆的,因此针对所有的都存在唯一的解。
(ii) 相对的,若假设是和的共同特征值,则也是的特征值。存在非零向量 和使得以及。选择使得,则没有解,考虑 ,等号的右边为正值;而左侧因为伴随变换的性质为零,即 。
假设二个大小分别为n和m的方阵A和B,以及大小为n乘m的矩阵C,则可以确认以下二个大小为n+m的方阵和是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C,换句话说,X为西尔维斯特方程的解,这称为Roth消去法则(Roth's removal rule)[4]。
可以用以下方式检查,若AX-XB=C,则
Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中[5]。
Bhatia and Rosenthal, 1997
不过若是要算其数值解,不建议写成此形式,因为求解的计算量很高,而且可能会是病态方程
Bhatia and Rosenthal, p.3
存档副本. [2017-12-27]. (原始内容存档于2018-11-14).
存档副本. [2017-12-27]. (原始内容存档于2018-02-12).
The syl
command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.
- Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116.
- Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
- Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.
- Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
- Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.
- Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.