李亚普诺夫方程

李亚普诺夫方程（英语：Lyapunov equation）是控制理论中的名词，离散李亚普诺夫方程的型式如下：

${\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}$

其中${\displaystyle Q}$为埃尔米特矩阵，${\displaystyle A^{H}}$为${\displaystyle A}$的共轭转置。而连续李亚普诺夫方程则是

${\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}$

李亚普诺夫方程应用在控制理论中的许多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亚普诺夫方程是得名自俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫。

在稳定性中的应用

在以下的定理中，${\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$，且${\displaystyle P}$ 和${\displaystyle Q}$是对应矩阵。而${\displaystyle P>0}$的意思是指${\displaystyle P}$矩阵为正定矩阵。

定理（连续时间版本）：给定任意${\displaystyle Q>0}$，存在唯一${\displaystyle P>0}$满足${\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}$的充份必要条件是线性系统${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$是全域渐近稳定。二次函数${\displaystyle V(z)=z^{T}Pz}$是李亚普诺夫函数，可以验证系统的稳定性。

定理（离散时间版本）：给定任意${\displaystyle Q>0}$，存在唯一${\displaystyle P>0}$满足${\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}$的充份必要条件是线性系统${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)}$是全域渐近稳定。${\displaystyle z^{T}Pz}$为其李亚普诺夫函数。

求解的计算层面

有特殊的软件可以求解李亚普诺夫方程。若是离散型式，常会用Kitagawa的Schur法^[1]，若是连续型式，则会用Bartels和Stewart的计算法^[2]。

解析解

定义${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$（向量化）运算子是将矩阵A的所有列堆起来所形成的列向量，而${\displaystyle A\otimes B}$是${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的克罗内克积。两种李亚普诺夫方程都可以用矩阵方程的解来表示。而且，若矩阵${\displaystyle A}$稳定，解也可以用积分（连续时间）或是无限项和（离散时间）来表示。

离散时间

利用${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$的结果，可以得到

${\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}$

其中${\displaystyle I_{n^{2}}}$为可相乘（英语：conformable）的单位矩阵^[3]。可以积分或或是求解线性方程，即可以得到${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$。再将各列重新整理，即可得到${\displaystyle X}$。

而且，若${\displaystyle A}$稳定，解${\displaystyle X}$也可以表示为

${\displaystyle X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}}$。

连续时间

再利用克罗内克积和${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$运算子，可以得到矩阵方程

${\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,}$

其中${\displaystyle {\bar {A}}}$是将${\displaystyle A}$各元素取共轭得到的矩阵。

类似离散时间的情形，若${\displaystyle A}$稳定，解${\displaystyle X}$也可以表示为

${\displaystyle X=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }Qe^{A^{H}\tau }d\tau }$.

相关条目

• 西尔维斯特方程
• 代数Riccati方程
• 卡尔曼滤波

参考资料

1. Kitagawa, G. An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S. International Journal of Control. 1977, 25 (5): 745–753. doi:10.1080/00207177708922266.
2. Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
3. Hamilton, J. Time Series Analysis. Princeton University Press. 1994. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.

外部链接

• Online Lyapunov equation solver