半长轴

半长轴是几何学中的名词，用来描述椭圆和双曲线的维度。与之对应的就是长轴，半长轴为长轴的一半，一般描述椭圆的最长的直径。

椭圆的半长轴 (a) 和半短轴 (b)。

椭圆

椭圆的方程式是:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

其中(h, k)是笛卡尔坐标系中椭圆的中心，其中任意点由(x, y)给出。

半长轴是椭圆距焦点的最大和最小距离${\displaystyle r_{\text{max}}}$和${\displaystyle r_{\text{min}}}$的平均值— 即从焦点到长轴端点的距离

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

在天文学中，这些极值点称为拱点。

一个椭圆的长轴是内部最长的直径，会通过中心和两个焦点，末端结束于椭圆曲线最宽处。半长轴是长轴的一半，始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在特殊状况a=b中，半长轴就是半径。

半长轴的长度 ${\displaystyle a\!}$ 与半短轴 ${\displaystyle b\,\!}$ 的关系可以经由离心率${\displaystyle e\,\!}$和半正焦弦${\displaystyle \ell \,\!}$推导如下：

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!}$.

${\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}$.

抛物线可以被视为是椭圆的极限，将一个焦点固定，而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上，但${\displaystyle \ell \,\!}$仍保持不变。因此${\displaystyle a\,\!}$和${\displaystyle b\,\!}$趋于无限大，${\displaystyle a\,\!}$仍比${\displaystyle b\,\!}$长。

半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。现在考虑在极座标中的方程式，其中一个焦点位于原点，另一个焦点在x轴上，

${\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}$.

均值由${\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!}$和${\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!}$，是 ${\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!}$.

双曲线（又称半实轴）

双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果a是在X-轴的方向上，则方程式可以表示为：

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

在这个项目中的半正焦弦和离心率如下：

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}}$

双曲线的横轴延伸方向与半长轴的方向一致^[1]。

天文学

轨道周期

某些太阳系轨道（十字表示开普勒值）的轨道周期 T 与半长轴 a（远日点和近日点的平均值）的双对数图，显示a³/T²是常数（绿线）

在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期${\displaystyle T}$，是：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

此处：

${\displaystyle a}$，是轨道的半长轴

${\displaystyle \mu }$是标准重力参数

无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。

在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，他决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由开普勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$，

此处T是周期，单位为年；a是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$，

此处G是重力常数，M是中心天体的质量，而m是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时，m的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后，开普勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。

值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。

平均距离

经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。

• 对偏近点角（q.v.）的平均距离的确就是半长轴。
• 对真近点角（从焦点上测量的真实轨道角度）的结果，说也奇怪，是轨道半短轴：${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$。

• 最后，是对平近点角（以角度表示，经过近心点之后所经历轨道周期的分数），是对时间的平均数（通常是对门外汉所谓的"平均"）：${\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}$。

椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为${\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!}$。

时间的平均值与半径成反比，${\displaystyle r^{-1}\,\!}$，是${\displaystyle a^{-1}\,\!}$。

能量：由状态向量的半长轴计算

在太空动力学半长轴${\displaystyle a}$，可以从轨道状态向量得到：

${\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}}$（椭圆轨道）

${\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}}$（双曲线弹道）

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$（特殊轨道能量）

${\displaystyle \mu =GM}$（标准重力参数）

此处：

• ${\displaystyle v}$，是从速度向量得到的轨道上物体的轨道速度，
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$，是在笛卡尔坐标系上、相对于位置向量用于计算的轨道元素（即，对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准，或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准），
• ${\displaystyle G}$，是重力常数，
• ${\displaystyle M}$，是中心天体的质量。

对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，具有的总比能是一个定值。

例子

国际太空站的轨道周期是91.74分，它的轨道半长轴是6,738公里。

外部链接

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation

参考资料

1. 7.1 Alternative Characterization. [2008-01-19]. （原始内容存档于2018-10-24）.