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千禧年大奖难题（英语：Millennium Prize Problems）是七条由美国的克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）于2000年5月24日公布的数学难题[1]，解题总奖金700万美元。根据克雷数学研究所制定的规则，这系列挑战不限时间，题解必须发表在知名的国际期刊，并经过各方验证，只要通过两年验证期和专家小组审核，每解破一题可获奖金100万美元[2]:153-155。
这些难题旨在呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题[2]:xv，经过一百年，约17条难题至少已局部解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学、航天、通讯等领域带来突破性进展。
迄今为止，在七条问题中，庞加莱猜想是唯一已解决的，2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明了它的正确性。而其它六道难题仍有待研究者探索。
2000年5月24日，克雷数学研究所在巴黎的法兰西公学院召开了巴黎千年会议（Paris Millennium Event）[3][4]。百多年前的1900年，德国数学家大卫·希尔伯特宣布了著名的希尔伯特的23个问题，地点正是在巴黎举行的第二届国际数学家大会。在二十世纪，对此系列问题的研究极大地推动了数学的发展[5]。出此考虑，克雷数学研究所决定邀请世界上有影响力的数学家参会，并在会上宣布二十一世纪须解决的七大数学难题[3]。宣布这些问题前，当天会议首先播放了1930年希尔伯特退休时演讲的录音，包括他的名言：“我们必须知道，我们必将知道[4]。”随后，美国数学家约翰·泰特登台，依如下顺序宣布了七条问题中的三条：黎曼猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想和P/NP问题，并逐一简单介绍。之后是英国数学家迈克尔·阿蒂亚演讲，介绍剩下四题，分别是庞加莱猜想、霍奇猜想、杨-米尔斯存在性与质量间隙和纳维-斯托克斯存在性与光滑性[3][注 1]。
这七大难题是由克雷数学研究所的科学顾问委员会（Scientific Advisory Board）在咨询其他顶尖数学家后共同选出[6][7]。小组有五位国际数学专家，领导者是美国数学家、哈佛大学教授亚瑟·贾菲[8]，此外还包括解决了费马大定理的安德鲁·怀尔斯、法国数学家阿兰·科纳、数学物理学家爱德华·威滕，以及上述提及过的约翰·泰特和迈克尔·阿蒂亚[7]。他们旨在记录当今数学家面对最难的问题，引起大众对数学研究的注意，强调为难题寻找答案的重要性[7]。问题甄选完成后，克雷数学研究所董事会拨款七百万美元，为每条问题设立一百万美元奖金，并写出授奖规则[6]。
总计700万美元的奖金来源于从事投资基金美国商人兰登·克雷（Landon T. Clay），作为业余数学爱好者，他在1999年创立了克雷数学研究所，随即捐出了这笔款项[9]:1。克雷数学研究所董事会（Board of Directors）将这笔钱设立为千禧年难题的奖金，每题价值一百万美元。理论上只有该董事会有权授奖。董事会接受研究所科学顾问委员会（Scientific Advisory Board）对得奖人的推荐[10]。
克雷数学研究所规定，任何解题并意在获奖的研究者，不应把答案直接呈交至研究所[11]，而须先在有国际声誉的同行评审数学出版物发表完整解答，否则研究所的科学顾问委员会将评定发表方式是否合格[注 2]。解答须在两年内获数学界广泛接受。若满足以上条件，科学顾问委员会将成立特别小组以评定获奖资格，该小组至少有两位非委员会成员，其中至少一人会完整校验解答。特别的，对于P/NP问题和纳维-斯托克斯问题，证明或证否皆有获奖资格。至于其他几条问题，提出反例亦可获奖，但若原问题在重构后可以剔除特殊情况而不伤本质，提出者可能只获得一小笔奖金。此外，若多位数学家对题解做出关键贡献，可由多人分享奖金[10]。
在拓扑学，二维球面是紧致且单连通。通俗地说，意味球面不会无限延伸，并且其上任何闭合的圈都可收紧至一点。庞加莱猜想考虑的是更高维的情况：若闭合三维空间中每条闭曲线都可连续收缩到一点，那么拓扑地看，这空间是否就是球面[12]。它的数学陈述为：一个单连通三维闭流形同胚于三维球面[13]。这猜想是三维流形的分类问题的核心[14]。1962年，斯蒂芬·斯梅尔证明了庞加莱猜想在五维以上的等价结论，四维的情况则在二十年后由迈克尔·弗里德曼证明[15]:192[16]:360，但数学界始终对三维流形束手无策，而人类所处的宇宙是三维流形，更显出问题重要[15]:193。
2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv贴出了完整证明[18]，先后有两篇文章，但文字简略且原创度极强，数学界经过近三年才完成校验。2006年，多组研究者先后发表论文阐释了佩雷尔曼的成果，并认定其无误[19]。由于这一贡献，国际数学家大会决定授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但他本人却拒绝领奖[20]。2010年3月18日，千禧年大奖正式颁发给佩雷尔曼[21]，但他又一次拒绝领奖，也包括克雷数学研究所的百万奖金。根据俄罗斯国际文传电讯社的消息，佩雷尔曼认为此奖不公，他相信哥伦比亚大学数学家理查德·哈密顿对这问题的贡献丝毫不逊于自己[22]。
在理论计算机科学，复杂度类P指所有可由确定型图灵机在多项式时间内解决的问题[23]:153，类NP是所有可在多项式时间内验证解的正确性的问题[23]:157。这里所谓“多项式时间”指的是求解算法运行时间至多是输入规模的多项式函数[8][注 3]。粗略说，P类问题是可以在计算机上快速求解的问题，而对NP问题则可快速确定某个可能的解是否正确[23]:161[24]。可以看出P类问题也是NP类问题[注 4]，而两者是否完全相等便是P/NP问题[23]:161，即是否所有NP类问题都是P类问题，拥有多项式时间的求解算法[16]:336。P/NP不单是抽象的数学难题；若得以解决，它在运筹学和密码学等应用领域也将有重大影响[25][26]，此外还被认为有特别的哲学意义[27][28]。
2001年一项针对100名数学和计算机科学家的调查发现其中61人相信P≠NP[29]，2012年调查者重复同一问卷发现84%受访者相信P≠NP，在可能的解决方法上，他们给出了组合数论、逻辑学和代数几何等答案[30]。在研究方面，对P/NP问题的重大进展来自1970年代斯蒂芬·库克和列奥尼德·列文的成果，他们证明存在这样一类问题，若能对任意一条NP问题找到多项式时间的求解算法，那么所有NP问题都是多项式时间可解的。他们将此类命题命名为NP完全问题[23]:161[16]:336。而对P/NP难题最近一次引起大量讨论的尝试来自惠普实验室的印度科学家维奈·地奥莱里卡（Vinay Deolalikar）在2010年8月网上发表长达100页的论文，宣称证明了P≠NP，在计算机科学和数学界的一番讨论和校阅，尼尔·伊莫尔曼等人发现论文有致命错误[31][32][33]。
数学的一大分支代数几何的中心研究对象是代数簇[35]，简言之它是由代数方程产生的代数对象，是几何对象的推广，人们所熟知的任何几何对象（如圆）都是一个代数簇，但并非所有代数簇都是几何的、可以直观描绘的。在此猜想中，代数几何学家关心的是非奇异射影代数簇，粗略而言它是一面光滑的多维曲面，由代数方程解定义产生[注 5]。霍奇猜想所说的是在这种“形状完美”的代数簇上，本可能不是几何对象的霍奇闭链（Hodge cycle）却是由名为代数闭链的几何对象组成的[9]:208[37]。其严谨的数学表述为：在非奇异复射影代数簇上，任何一条霍奇闭链都可以表示为代数闭链类的有理线性组合[37]。诚然，霍奇猜想中的数学名词可说是令人生畏[38]，在七大千年难题中，它也被认为是对非专业人士而言最难理解的一个[9]:9、204。然而霍奇猜想的证明将为代数几何、拓扑学和数学分析三个领域建立一种基本的联系，因此具有重大意义[9]:210。
苏格兰数学家威廉·霍奇在1950年公布猜想后不久，唐纳德·斯宾塞和小平邦彦就证明了其中一种简单情况[36]。近年来的研究方向分为两支：美国数学家菲利普·格里菲斯等人尝试将这一猜想化约为霍奇类导出的多元可容正规函数（admissible normal function）的奇点（singularities）存在性问题，克莱尔·瓦赞则力图在算术簇上证明霍奇猜想[39]。大体而言，霍奇猜想的证明仍然难见突破，它甚至被称为是漫无边际的猜测[9]:210，暂时没有有力证据表明霍奇的直觉正确[9]:218。
数论分支解析数论的一大研究主题是素数分布。1740年瑞士数学家欧拉研究了如下用希腊字母命名的函数[9]:41：
用一种与埃拉托斯特尼筛法颇有相通之处的证明法，他证明了对于任意，
此处为全体素数。这称欧拉乘积公式的等式标志解析数论的肇始，它表明ζ函数与素数有着隐约而紧密的关系[9]:59。19世纪的德国数学家黎曼对这一函数的性质做出了更深入的研究，他证实了通过解析延拓，函数可以被定义在复数域。由于他是认识到这一点第一人，此函数通常称黎曼ζ函数。在1859年的论文中，黎曼首先观察到ζ函数在负偶数上有零点，它们称“平凡零点”，在注意到一些规律后，他猜测ζ函数所有非平凡零点的实数部分均为1/2，也即ζ函数非平凡解都位于直线（“临界线”）上，这便是黎曼猜想[9]:43-44[41]。为数不少的数学命题以黎曼猜想成立为前提[42]，其在数学上的影响力已远超素数分布模式一点[9]:4。它还对密码学和物理学意义重大[9]:4、48。
黎曼猜想是千禧年七大难题和希尔伯特的23个问题唯一一条共同问题，是150年来一直吸引数学家的难题[43]，对它的研究极大推动了解析数论发展[16]:362。有分析和数值方面证据支持黎曼猜想正确。例如，1914年哈代证明了ζ函数有无限多个零点的实部等于1/2[16]:361，1989年布莱恩·康瑞（Brian Conrey）证明了ζ函数全部零点中有2/5位于临界线上[44]，2012年这结果提升到41.28%[45]。2004年，数学家通过计算机验证了ζ函数前1013个零点，没有找到黎曼猜想反例[46]，但这些离真正证明黎曼猜想仍相去甚远[16]:362。
在物理学，杨-米尔斯理论是基于非阿贝尔群的量子规范理论[48]:508。20世纪初，物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合[9]:82-83。在这一方向上，最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子电动力学，简称QED[48]:7，它提供了对电磁现象的量子描述，成为麦克斯韦理论的一个量子版本[49][50]，能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然，物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力和强力一道统一起来[51]:2。1954年杨振宁和罗伯特·米尔斯提出了杨-米尔斯理论[52]，它是对QED的进一步推广[48]:481。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时，物理学家发现这一理论的“无质量性”成为症结所在[9]:88。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程[53]，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足“质量间隙”这特征[9]:90，其官方表述为：对任意紧致、单的规范群，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙[51]:6。质量间隙问题是量子动力学理解强相互作用的理论关键，关乎理论物理学的数学基础，其解决将意味着一个数学上完整的量子规范场论的产生[51]:5。
这问题的解决前景不甚乐观，爱德华·威滕也直言“（它）对现在而言实在太难[9]:92。”物理学家普遍相信质量间隙存在，但至今未能找到确凿的数学和物理学证明[54]。
杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲和爱德华·威滕写出[51]。
在流体力学，纳维-斯托克斯方程描述了包括空气和水在内的流体的运动[55]。该方程组早在1821年便由法国工程师克劳德-路易·纳维发现了，他通过引入黏度的概念而推广了17世纪建立的欧拉方程，随后爱尔兰数学家乔治·斯托克斯又对其多次完善[56]。长久以来，数学家和物理学家相信对此方程的解能解释和预测流体行为，但至今对它的理解也颇为有限[57]。具体说来，对，都有如下纳维-斯托克斯方程[55]，
- 。
其中。而欲解的未知数是速度向量和流体压力。纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题要求解答者证明该方程存在光滑的解。
在此问题上数学家已取得了部分成果。1934年，让·勒雷证明了方程弱解的存在性，该解满足方程均值，在每一点上则不一定[58]。另外，给定初始条件，总能找到一个正数，使方程在的时间段上可解，这正数也称“爆裂时间”（blowup time）[55]；只是一般而言由于实在太小，这些解未必有用[9]:150。陶哲轩在2014年2月发表了一项关于三维纳维-斯托克斯方程均值版本的爆裂时间的新成果[59][60]。
在数论和代数几何，由形如的等式定义、且没有奇点的曲线称椭圆曲线。椭圆曲线是数论研究的重要领域，例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明的关键便是椭圆曲线。它在密码学和数据传输上也均有应用[9]:181。在此一问题上，数学家关心给定一椭圆曲线，其有多少个有理解，即有多少组有理数对满足椭圆曲线方程。这一问题与该曲线对应的哈瑟-韦伊L函数 密切相关。基于计算机的数值依据，数学家布莱恩·贝赫和彼得·斯维讷通-戴尔猜想，一椭圆曲线有无穷多有理解，当且仅当在时取0[61]。
有大量数值依据表明猜想正确[62]。而在1994年前该猜想是否有意义都不甚明确，当时的数学家并不知是否存在一个合适的函数，使得对所有的都有一个答数，这猜想直到1994年才作为谷山-志村定理一个特殊形式被解决[9]:192[63]。近年来此问题进展不多，特别是对于椭圆曲线秩大于1的情况，数学家所知甚少[64]。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的官方陈述由安德鲁·怀尔斯写出[65]。
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