割圆连比例

割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐诚、项名达等数学家的工作而趋于完善。^[1]。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长^[2]。

历史背景

1701年，法国耶稣会传教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）来到中国，他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数^[3]

${\displaystyle \pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle \operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

这些计算π的“捷法”只涉及乘法和加减运算，速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算，因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密，于是他着手进行这项工作，前后历时30年，完成了书稿《割圜密率捷法》，他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数，不仅推出杜德美的三个无穷级数，还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中，他发现和应用卡塔兰数。

连比例

连比例图

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，于是^[4]。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

• AB为第一率，以${\displaystyle \phi _{1}}$表示
• BC为第二率，以${\displaystyle \phi _{2}}$ 表示
• BC为第二率，以${\displaystyle \phi _{2}}$ 表示
• CD为第三率，以${\displaystyle \phi _{3}}$ 表示
• DE为第四率，以${\displaystyle \phi _{4}}$ 表示
• EF为第五率，以${\displaystyle \phi _{5}}$ 表示
• FG为第六率，以${\displaystyle \phi _{6}}$ 表示
• ……
• 第m率：${\displaystyle \phi _{m}}$

于是：

${\displaystyle \phi _{6}=k*\phi _{5}}$

${\displaystyle \phi _{5}=k*\phi _{4}}$

${\displaystyle \phi _{4}=k*\phi _{3}}$

${\displaystyle \phi _{3}=k*\phi _{2}}$

${\displaystyle \phi _{2}=k*\phi _{1}}$

${\displaystyle \phi _{m}=k^{m-1}*\phi _{1}}$

${\displaystyle \phi _{m}}$……${\displaystyle \phi _{6}:\phi _{5}:\phi _{4}:\phi _{3}:\phi _{2}:\phi _{1}=k^{m-1}:k^{m-2}}$……${\displaystyle k^{5}:k^{4}:k^{3}:k^{2}:k:k^{0}}$

又： ${\displaystyle {\frac {\phi _{m}*\phi _{n}}{\phi _{p}}}=(m+n-p-q)*\phi _{q}}$

明安图割圆连比例

图一 明安图一弦二矢割圆连比例图

图二 明安图发现卡塔兰数 《割圜密率捷法》卷三

由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法

如图BCD为全弧，AB=AC=AD=为半径,令半径=1；BD为通弦，BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此，

${\displaystyle BD=2*x-GH}$^[5]

作EJ=EF,FK=FJ；延长BE直线至L，并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M，并BF=MF；连LM，显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G，L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI；显然BI=BC。

${\displaystyle AB:BC:CI=1:x:x^{2}}$

作CG之平分线BM，并令BM=BC；连GM、CM；作CO=CM交BM于O;作MP=MO；作NQ=NR，R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;${\displaystyle \therefore }$ ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:^[6]

• 连比第一率:AB=AC=AD=AE
• 连比第二率：BE=BC=BF=C
• 连比第三率:EF=CM
• 连比第四率:FJ
• 连比第五率:JK=OP

${\displaystyle AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^{2}:p^{3}:p^{4}}$

1:BE=BE:EF；即${\displaystyle EF=BE^{2}}$

${\displaystyle 1:BE^{2}=x:GH}$

于是${\displaystyle GH=x*BE^{2}=x*p^{2}}$,

即${\displaystyle BD=2*x-x*p^{2}}$

因为 风筝形ABEC 与BLIN相似，^[6]。

${\displaystyle EF=LC=CM=MG=NG=IN}$

${\displaystyle LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI}$

${\displaystyle \therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)}$ 即 ${\displaystyle AB:BL=BL:(CI+JK)}$

令${\displaystyle BL=q}$

${\displaystyle AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}}$

${\displaystyle JK=p^{4}}$

${\displaystyle CI=y^{2}}$

${\displaystyle CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}}$

由此得${\displaystyle q^{2}=4p^{2}}$ 或${\displaystyle p={\frac {q}{2}}}$

又${\displaystyle CI+JK=x^{2}+p^{4}=q^{2}}$,代人p值得：

${\displaystyle x^{2}+{\frac {q^{4}}{16}}=q^{2}}$,于是

${\displaystyle x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}}$

上式平方之，两边除以16：^[7]

${\displaystyle {\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}*{2 \choose j}*{\frac {q^{2*(2+j)}}{16^{j}}}}$

即${\displaystyle {\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}}$

依次类推

${\displaystyle {\frac {x^{2n}}{16^{n-1}}}=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}*{n \choose j}*{\frac {q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}}}$^[8]。

将下列二式相加，可以消去${\displaystyle q^{4}}$项：

${\displaystyle x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2*q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+*{\frac {q^{8}}{4096}}}$

同理

${\displaystyle x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2*x^{6}}{16^{2}}}=q^{2}-{\frac {5*q^{8}}{4096}}+{\frac {3*q^{10}}{32768}}-{\frac {q^{12}}{524288}}}$,

.......

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}}$

展开式各项分子的系数 1，1，2，5，14，42，132……（见图二 明安图原图最后一行，由右至左读）乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人^[9]。

因而得到：

${\displaystyle q^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}}$^[10][11]。

其中

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}$为明安图-卡塔兰数。

明安图利用他首创的递推关系^[12]：

${\displaystyle C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}}$

${\displaystyle \because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^{2}=x:px:p^{2}*x}$

${\displaystyle \therefore GH:=p^{2}*x=({\frac {q}{2}})^{2}*x={\frac {q^{2}*x}{4}}}$

代人${\displaystyle BD=2x-GH}$

最后得到^[13]。

${\displaystyle BD=2x-{\frac {x}{4}}*q^{2}}$

${\displaystyle y_{2}=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}}$

三角学意义

在图一中令BAE角=α，BAC角=2α

• x=BC=sinα
• q=BL=2BE=4sin(α/2)
• BD=2sin(2α)

明安图获得的 ${\displaystyle BD=2*x-x*BE^{2}}$

就是

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}}$

${\displaystyle =2*\sin(\alpha )-{\frac {2*\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}}$

${\displaystyle q^{2}=BL^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}}$

即${\displaystyle \sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}}$

由三分弧通弦率求全弧通弦率

明安图割圆密率三分弧

如图，BE为全弧通弦，BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此： ${\displaystyle AB:BC=BC:CG=CG:GF}$,${\displaystyle BC:FG=BD:\delta \gamma }$

${\displaystyle 2*BD=BE+\delta \alpha }$

${\displaystyle 2*BD-\delta \gamma =BE+BC}$

${\displaystyle \therefore 2*BD-\delta \gamma -BC=BE}$

依次类推，最后得：

${\displaystyle y_{3}=3*a-a^{3}}$^[14][15]。

四分弦

四分弦

${\displaystyle y_{4}=4*a-{\frac {10*a^{3}}{4}}+{\frac {14*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {12*a^{7}}{4^{5}}}}$+……

${\displaystyle =4a-10*a^{3}/4+\sum _{n=1}^{\infty }(16C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {a^{2n+1}}{4^{2n-1}}}}$。^[16]。

几何意义：

${\displaystyle \sin(4*\alpha )=4*sin(\alpha )-10*sin^{3}\alpha }$ ${\displaystyle +\sum _{n=1}^{\infty }(16*C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {\sin ^{2n+3}(\alpha )}{4^{n}}}}$ ^[17]。

五分弦

五分弦

${\displaystyle y_{5}=5a-5a^{3}+a^{5}}$

几何意义：

${\displaystyle \sin(5\alpha )=5\sin(\alpha )-20\sin ^{3}(\alpha )+16\sin ^{5}(\alpha )}$^[18]。

十分弦

十分弦图

从十分弦开始，明安图不再作几何模型，而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合，即

${\displaystyle y_{10}=y_{5}(y_{2})}$

${\displaystyle y_{10}=5*y_{2}-5*(y_{2})^{3}+(y_{2})^{5}}$;

展开即得：

${\displaystyle y_{10}(a)=10*a-{\frac {165*a^{3}}{4}}+{\frac {3003*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {21450*a^{7}}{4^{5}}}}$+……^[19]。

百分弧

同理，

${\displaystyle y_{100}=y_{10}(y_{10})}$,展开后即得：

${\displaystyle y_{100}=100*a-166650*{\frac {a^{3}}{4}}[phone]*{\frac {a^{5}}{4*16}}-316350028500*{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}[phone]*{\frac {a^{9}}{4*16^{3}}}+}$……^[20]。

千分弧

${\displaystyle y_{1000}=1000*a-1666666500*{\frac {a^{3}}{4}}[phone]*{\frac {a^{5}}{4*16}}-3174492064314285000{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+}$……^[20]。

万分弦

${\displaystyle y_{10000}=10000*a-{\frac {166666665000*a^{3}}{4}}+{\frac {33333330000000300*a^{5}}{4^{3}}}+}$…………^[21]。

弧背求通弦

y100,y1000 and y10000 可表为^[22]:

${\displaystyle y100=100a-{\frac {(100a)^{3}}{24.002400240024002400}}+{\frac {(100a)^{5}}{24.024021859697730358*80}}+}$..........

${\displaystyle y1000:=1000a-{\frac {(1000a)^{3}}{24.000024000024000024}}+{\frac {(1000a)^{5}}{24.000240002184019680*80}}+}$..............

${\displaystyle y10000:=10000a-{\frac {(10000a)^{3}}{24.000000240000002400}}+{\frac {(10000a)^{5}}{24.000002400000218400*80}}+}$..................

分弦数越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近 24 、 24*80 ；当分弦数n趋向无穷大， n*a, 就变成 弧背，于是^[23]

令c 为弦，a 为弧背，

${\displaystyle c=a-{\frac {a^{3}}{4*3!}}+{\frac {a^{5}}{4^{2}*5!}}-{\frac {a^{7}}{4^{3}*7!}}+}$.....

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}}}$

通弦求弧背

明安图求得上述无穷级数的反逆，将弧表示为弦的无穷级数^[23][24]:

${\displaystyle a:=c+{\frac {c^{3}}{24}}+{\frac {3*c^{5}}{640}}+{\frac {5*c^{7}}{7168}}+}$............

正弦的无穷级数展开

${\displaystyle \because sin(\alpha )={\frac {c}{2}}}$,

令 r=1

${\displaystyle \therefore sin\alpha =a-{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}}{7}}+{\frac {a^{9}}{9}}+}$…………

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}*{\frac {a^{2n-1}}{2n-1}}}$^[25]。

参考文献

1. 吴文俊 477页
2. 徐传胜 143
3. 何绍庚，《清代无穷级数研究中的一个关键问题》《自然科学史研究》第6卷第3期1989年第 205-214
4. 李俨 《中算史论丛》 第三集 《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 第297-299页
5. 李俨 《中算史论丛》 第三集 《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 第300页
6. 罗见今 96页
7. 罗见今 100页
8. 罗见今 106页
9. 罗见今 《明安图和他的幂级数展开式》数学传播34卷1期, pp. 65-73
10. 罗见今 113页
11. Yan Xue-min Luo Jian-jin, Catalan Numbers, A Geometric Model J.of Zhengzhou Univ Vol 38 No2， Jun 2006， p22
12. 罗见今 114页
13. 罗见今 114页
14. Yoshio Mikami p147
15. 罗见今 148页
16. 罗见今 153页
17. 罗见今 153页
18. 罗见今 156页
19. 罗见今 164页
20. 李俨 320页
21. Yoshio Mikami, p147
22. 罗见今 209-225页
23. Yoshio Mikami, p148
24. 罗见今 226-260
25. 李俨 327页

• 明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
• Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
• 李俨 《中算史论丛》 第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷