到达域

到达域（英语：Codomain），或称为陪域、余定义域、上域、终域、共变域、目标集。

提示：此条目页的主题不是值域。

${\displaystyle f}$是一个将所有定义域${\displaystyle X}$(红色区块)中的点${\displaystyle x\in X}$对应到点${\displaystyle f(x)\in Y}$的函数。搜集所有点${\displaystyle f(x)}$的集合(黄色区块)为函数${\displaystyle f}$的值域，${\displaystyle Y}$(蓝色区块)为${\displaystyle f}$的到达域。

在数学领域中，一个函数的到达域指的是至少包含所有此函数的输出值的一个集合。在函数符号${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$中，${\displaystyle Y}$是函数${\displaystyle f}$的到达域。

${\displaystyle f}$的值域是${\displaystyle Y}$的一个子集，若${\displaystyle f}$是一个满射函数，则${\displaystyle f}$的到达域和值域相等，反之则代表有${\displaystyle y\in Y}$不存在于${\displaystyle f}$的值域中，使得方程式${\displaystyle f(x)=y}$无解。

例

例一

定义三个函数：

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}}$

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}}$

其中${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$。

1. 因为${\displaystyle f(x)=x^{2}}$，函数${\displaystyle f}$的输出值皆为非负数，所以${\displaystyle f}$的值域为${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$，也就是${\displaystyle [0,\infty )}$区间。又因${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\subset \mathbb {R} }$，即${\displaystyle f}$的到达域不等于值域，所以${\displaystyle f}$不是一个满射函数。
2. 虽然${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$函数的输出值相同，但因为两者的到达域不同，因此不是相同的函数。
3. 因为${\displaystyle f}$的到达域不等于${\displaystyle h}$的定义域，合成函数 ${\displaystyle h\circ f}$为无效的函数。唯有合成符号右侧函数的到达域和左侧函数的定义域相同时，该合成函数才有效，例如${\displaystyle h\circ g}$。

例二

定义${\displaystyle T}$为介于两个线性空间的线性变换：

${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle T}$也可以被表达成一个2×2的实数矩阵，代表一个从定义域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$到到达域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的对应方式。 假设

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

则代表把所有定义域中的点${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ 对应到到达域中的点 ${\displaystyle (x,x)\in \mathbb {R} ^{2}}$。由于${\displaystyle T}$的值域只搜集了所有${\displaystyle x=y}$的点，例如点${\displaystyle (2,3)}$不在${\displaystyle T}$的值域中，但在${\displaystyle T}$的到达域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中，因此${\displaystyle T}$不是一个满射函数。

在此例中，2×2的矩阵在秩（rank）等于2时，为满射函数，小于2时则非。到达域和值域是否相等可做为判断矩阵是否有满秩（full rank）的依据，因为${\displaystyle T}$的值域小于到达域，所以${\displaystyle T}$没有满秩。

相关条目

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