信息论

信息论（英语：information theory）是应用数学、电子学和计算机科学的一个分支，涉及信息的量化、存储和通信等。信息论是由克劳德·香农发展，用来找出信号处理与通信操作的基本限制，如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来，它已拓展应用到许多其他领域，包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学^[1]、进化论^[2]和分子编码的功能^[3]、生态学的模式选择^[4]、热物理^[5]、量子计算、语言学、剽窃检测^[6]、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。^[7]

提示：此条目的主题不是信息学。

• 信息技术主题

熵是信息的一个关键度量，通常用一条消息中需要存储或传输一个符号（英语：Symbol rate）的平均比特数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如，指定掷硬币的结果（两个等可能的结果）比指定掷骰子的结果（六个等可能的结果）所提供的信息量更少（熵更少）。

信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信道编码定理、信源－信道隔离定理相互联系。

信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩（如ZIP文件）、有损数据压缩（如MP3和JPEG）、信道编码（如数字用户线路（DSL））。这个领域处在数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和电机工程学的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光盘的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解，以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、信道编码、算法复杂性理论、算法信息论、信息论安全性和信息度量等。

简述

信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。

一种简洁的语言（以英语为例）通常有两个重要特点： 首先，最常用的词（比如"a"、"the"、"I"）应该比不太常用的词（比如"benefit"、"generation"、"mediocre"）要短一些；其次，如果句子的某一部分被漏听或者由于噪声干扰（比如一辆车辆疾驰而过）而被误听，听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通信系统比作一种语言的话，这种健壮性（robustness）是不可或缺的。将健壮性引入通信是通过信道编码完成的。信源编码和信道编码是信息论的基本研究课题。

注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如，像“多谢；常来”这样的客套话与像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的，然而明显后者更重要，也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义，因为这些是数据的质量的问题而不是数据量（数据的长度）和可读性方面上的问题，后者只是由概率这一因素单独决定的。

信息的度量

信息熵

美国数学家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报（英语：Bell System Technical Journal）》上的论文《通信的数学理论（英语：A Mathematical Theory of Communication）》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利（英语：Ralph Hartley）于1920年代先后发表的研究成果。在该文中，香农给出了信息熵的定义：

${\displaystyle H(X)=\mathbb {E} _{X}[I(x)]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}^{}p(x)\log _{2}\left({\frac {1}{p(x)}}\right)}$

其中${\displaystyle {\mathcal {X}}}$为有限个事件x的集合，${\displaystyle X}$是定义在${\displaystyle {\mathcal {X}}}$上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。

信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联系:

${\displaystyle S(X)=k_{B}H(X)}$

其中S(X)为热力学熵，H(X)为信息熵，${\displaystyle k_{B}}$为波兹曼常数。 事实上这个关系也就是广义的波兹曼熵公式，或是在正则系综内的热力学熵表示式。如此可知，玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作，启发了信息论的熵。

信息熵是信源编码定理中，压缩率的下限。若编码所用的信息量少于信息熵，则一定有信息的损失。香农在大数定律和渐进均分性（英语：Asymptotic equipartition property）的基础上定义了典型集（英语：Typical set）和典型序列。典型集是典型序列的集合。因为一个独立同分布的${\displaystyle X}$序列属于由${\displaystyle X}$定义的典型集的概率大约为1，所以只需要将属于典型集的无记忆${\displaystyle X}$信源序列编为唯一可译码，其他序列随意编码，就可以达到几乎无损失的压缩。

例子

设有一个三个面的骰子，三面分别写有${\displaystyle 1,2,3}$，${\displaystyle X}$为掷得的数，掷得各面的概率为

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (X=1)&=1/5,\\\mathbb {P} (X=2)&=2/5,\\\mathbb {P} (X=3)&=2/5,\end{aligned}}}$

则

${\displaystyle H(X)={\frac {1}{5}}\log _{2}(5)+{\frac {2}{5}}\log _{2}\left({\frac {5}{2}}\right)+{\frac {2}{5}}\log _{2}\left({\frac {5}{2}}\right)\approx 1.522.}$

联合熵与条件熵

联合熵（Joint Entropy）由熵的定义出发，计算联合分布的熵：

${\displaystyle H(X,Y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}^{}p(x,y)\log \left({\frac {1}{p(x,y)}}\right).}$

条件熵（Conditional Entropy），顾名思义，是以条件概率${\displaystyle p(y|x)}$计算：

${\displaystyle H(Y|X)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}^{}p(x,y)\log \left({\frac {1}{p(y|x)}}\right).}$

由贝叶斯理论，有${\displaystyle p(x,y)=p(y|x)p(x)}$，代入联合熵的定义，可以分离出条件熵，于是得到联合熵与条件熵的关系式:

${\displaystyle H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)=H(Y)+H(X|Y)=H(Y,X).}$

链式法则

可以再对联合熵与条件熵的关系做推广，假设现在有${\displaystyle n}$个随机变量${\displaystyle X_{i},i=1,2,...,n}$，重复分离出条件熵，有：

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X_{1},X_{2},...,X_{n})&=H(X_{1})+H(X_{2},...,X_{n}|X_{1})\\&=H(X_{1})+H(X_{2}|X_{1})+H(X_{3},...,X_{n}|X_{1},X_{2})\\&=H(X_{1})+\sum _{i=2}^{n}H(X_{i}|X_{1},...,X_{i-1})\end{aligned}}.}$

其直观意义如下：假如接收一段数列${\displaystyle \{X_{1},X_{2},...,X_{n}\}}$，且先收到${\displaystyle X_{1}}$，再来是${\displaystyle X_{2}}$，依此类推。那么收到${\displaystyle X_{1}}$后总消息量为${\displaystyle H(X_{1})}$，收到${\displaystyle X_{2}}$后总消息量为${\displaystyle H(X_{1})+H(X_{2}|X_{1})}$，直到收到${\displaystyle X_{n}}$后，总消息量应为${\displaystyle H(X_{1},...,X_{n})}$，于是这个接收过程给出了链式法则。

互信息

互信息（Mutual Information）是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的互信息定义为：

${\displaystyle I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)=H(Y)-H(Y|X)=I(Y;X).}$

其意义为，${\displaystyle Y}$包含${\displaystyle X}$的多少信息。在尚未得到${\displaystyle Y}$之前，对${\displaystyle X}$的不确定性是${\displaystyle H(X)}$，得到${\displaystyle Y}$后，不确定性是${\displaystyle H(X|Y)}$。所以一旦得到${\displaystyle Y}$，就消除了${\displaystyle H(X)-H(X|Y)}$的不确定量，这就是${\displaystyle Y}$对${\displaystyle X}$的信息量。

如果${\displaystyle X,Y}$互为独立，则${\displaystyle H(X,Y)=H(X)+H(Y)}$，于是${\displaystyle I(X;Y)=0}$。

又因为${\displaystyle H(X|Y)\leq H(X)}$，所以

${\displaystyle I(X;Y)\leq \min(H(X),H(Y)),}$

其中等号成立条件为${\displaystyle Y=g(X)}$，${\displaystyle g}$是一个双射函数。

互信息与G检验（英语：G-test）以及皮尔森卡方检验有着密切的联系。

应用

信息论被广泛应用在：

• 编码理论
• 密码学
• 数据传输
• 数据压缩
• 检测理论
• 估计理论
• 数据加密

参考文献

1. F. Rieke, D. Warland, R Ruyter van Steveninck, W Bialek. Spikes: Exploring the Neural Code. The MIT press. 1997. ISBN 978-0262681087.
2. cf. Huelsenbeck, J. P., F. Ronquist, R. Nielsen and J. P. Bollback (2001) Bayesian inference of phylogeny and its impact on evolutionary biology, Science 294:2310-2314
3. Rando Allikmets, Wyeth W. Wasserman, Amy Hutchinson, Philip Smallwood, Jeremy Nathans, Peter K. Rogan, Thomas D. Schneider （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Michael Dean (1998) Organization of the ABCR gene: analysis of promoter and splice junction sequences, Gene 215:1, 111-122
4. Burnham, K. P. and Anderson D. R. (2002) Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach, Second Edition (Springer Science, New York) ISBN 978-0-387-95364-9.
5. Jaynes, E. T. (1957) Information Theory and Statistical Mechanics （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Phys. Rev. 106:620
6. Charles H. Bennett, Ming Li, and Bin Ma (2003) Chain Letters and Evolutionary Histories （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Scientific American 288:6, 76-81
7. David R. Anderson. Some background on why people in the empirical sciences may want to better understand the information-theoretic methods (PDF). November 1, 2003 [2010-06-23]. （原始内容 (pdf)存档于2011-07-23）.

外部链接

• 香农论文：通信的数学理论 （页面存档备份，存于互联网档案馆）