一致收敛

一致收敛，或称均匀收敛，（英语：Uniform convergence），是数学中关于函数序列收敛的一种定义。其概念大致可想成：若函数序列 f_n 一致收敛至函数 f，代表对所有定义域中的点 x，f_n(x) 收敛至 f(x) 会有（大致）相同的收敛速度^{[注 1]}。由于它对收敛要求较逐点收敛更强，故能保持一些重要的分析性质，例如连续性、黎曼可积性。

定义

当函数序列中的函数的到达域是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 时，此时均匀收敛的定义为：

让 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 是定义在 ${\displaystyle S}$ 上，到达域为 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$的一组函数序列，若序列 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$ 在集合 ${\displaystyle S}$ 上，即表示对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得当所有 ${\displaystyle n\geq N}$ 且 ${\displaystyle x\in S}$ 时有

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

可将这定义推广到一般的度量空间：

设 ${\displaystyle S}$ 为一集合，${\displaystyle (M,d)}$ 为度量空间。若对一组函数序列 ${\displaystyle f_{n}:S\to M}$，存在函数 ${\displaystyle f:S\to M}$ 满足 对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得当所有 ${\displaystyle n\geq N}$ 且 ${\displaystyle x\in S}$ 时有

${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,}$

则称序列 ${\displaystyle f_{n}}$ 一致收敛到 ${\displaystyle f}$。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 ${\displaystyle N}$的选取仅与 ${\displaystyle \epsilon }$ 相关，而在逐点收敛中 ${\displaystyle N}$ 还多了与点 ${\displaystyle x}$ 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子

在[-1,1]上一致收敛到绝对值函数的多项式序列

例子一：对任何${\displaystyle [0,1]}$上的连续函数${\displaystyle f}$，考虑多项式序列

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$

可证明${\displaystyle P_{n}}$在区间${\displaystyle [0,1]}$上一致收敛到函数${\displaystyle f}$。其中的${\displaystyle b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$称为伯恩斯坦多项式。

透过坐标的平移与缩放，可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数，这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。

逐点收敛而非一致收敛的例子

例子二：考虑区间${\displaystyle [0,\pi ]}$上的函数序列${\displaystyle f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)}$，它逐点收敛到函数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}}$

然而这并非一致收敛。直观地想像：当${\displaystyle x}$愈靠近${\displaystyle \pi /2}$，使${\displaystyle f_{n}(x)}$接近${\displaystyle 0}$所需的${\displaystyle n}$便愈大。可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中${\displaystyle f_{n}(x)}$皆连续，而${\displaystyle f(x)}$不连续。

性质

让 ${\displaystyle (f_{n})}$ 为一组函数序列，到达域为 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$，此时有下述性质：

• 连续性：若函数序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$，则有：

1. 假设函数序列的定义域是闭包（closure）集合 ${\displaystyle I}$，且 ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle I}$ 的中的一点。若每个 ${\displaystyle f_{n}}$ 都在 ${\displaystyle a}$ 点连续，则 ${\displaystyle f}$ 也在 ${\displaystyle a}$ 点连续。
2. 若对集合 ${\displaystyle I}$ 的每个紧致子集 ${\displaystyle J}$，每个 ${\displaystyle f_{n}}$ 都在 ${\displaystyle J}$ 上连续，则 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上连续。

• 与积分的交换：令 ${\displaystyle (f_{n})}$ 为定义在紧致区间 ${\displaystyle I}$ 的函数序列，且序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$。若每个 ${\displaystyle f_{n}}$ 都是黎曼可积，则 ${\displaystyle f}$ 也是黎曼可积，而且

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad }$^{[注 2]}

• 与微分的交换：可微函数序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$，并不能保证 ${\displaystyle f}$ 是可微的，还需要对该函数序列的微分，${\displaystyle (f'_{n})}$，做些限制，请参看以下定理：

让 ${\displaystyle (f_{n})}$ 为定义在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 的可微函数序列，且存在一点 ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ 使得极限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ 存在（且有限）。若序列的微分 ${\displaystyle (f'_{n})}$ 在区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 一致收敛到函数 ${\displaystyle g}$，则序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均匀收敛至函数 ${\displaystyle f}$ 且 ${\displaystyle f}$ 亦是可微函数，且有：

${\displaystyle f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}}$。

注释

1. 所以才会用“均匀”或“一致”来形容这种模式的收敛
2. 在勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。

文献

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X