Verma模(Verma module)是李代数表示理论中的基本研究对象,其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之间的态射相应于旗流形上的不变微分算子。
可用Verma模来证明以下命题:最高权为的最高权表示的维数有限,若且仅若是支配整权(dominant integral weight)。
Verma模的定义
设:
- 为一域;
- ,为上一半单李代数;
- 为一固定之权。
- 为上的一维向量空间, 赋与-模结构:的作用为“乘以”,正根的作用为零。由于是一左-模,他同时亦是一左-模。
- 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理,有一自然右-模结构。由于亦是一左-模, 所以是-双模。
- 定义(最高权为之)Verma模 为
此自然地是一左-模。从Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知:,作为一向量空间,同构于
其中为之负根生成之子李代数。
基本性质
作为-模,Verma模是一最高权表示,即整个模由一最高权向量生成。此最高权向量是的像(其中前为之单位,后为域之单位元);其权为。
Verma模是weight modules,即是其权子空间之直和。每一权子空间是有限维的,其维度是权写成正根之和之方法之数(参见Kostant partition function)。
Verma模有一重要性质:若为任一最高权模,其最高权为,则存在一 满射:。换言之,任何最高权模都是的商模。
Verma模本身不可约 若且仅若 当其最高权分解成基本权(fundamental weight)之和时,每一系数都不是。
称Verma模为regular,若其最高权λ位于一支配权之仿射Weyl轨迹上。换言之,存在Weyl群的元素w,使
- ,
其中是Weyl群的仿射作用。
称Verma模为singular,若λ的仿射轨迹上无支配权。此时,存在权使落于基本Weyl室之墙上;(其 中δ为各基本权之和)。
Verma模之间的态射
设为两权。若存在态射
- ,
则的Weyl群的 仿射作用必然能把带到。此为Harish-Chandra无限小中心特征标定理之一推论。
每一Verma模 态射都是单射。态射空间之维度
其中为任何两权。因此,存在一非零态射若且仅若 同构于的一(唯一)子模。
Verma模态射的完整分类来自I.N.伯恩斯坦、I.M.盖尔芳特 与S.I.盖尔芳特 的工作[1]与N. Verma的工作[2]。简言之,
存在非零态射
若且仅若 存在一串权
若Verma模与俱为regular,则仅存支配权与Weyl群元w, w′使
- P
而且
其中为Weyl群的仿射作用。设此等权是整权(integral weight)。存在非零态射
若且仅若,在Weyl群W 的Bruhat次序中,
- 。
Jordan-Holder序列
设
为一-模序列,其中B/A为不可约表示,其最高权为μ。则存在非零态射。
推论: 设为二最高权表示。若
则存在非零态射。
伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特 分解
设为李代数的一有限维不可约表示,其最高权为λ。我们已知:存在非零态射
若且仅若,在其Weyl群的Bruhat次序中,
- 。
以下定理描述如何分解成Verma模的正合序列。 (此定理出现于 伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特1975年的论文[3]):
存在由-态射组成的正合序列
其中n为Weyl群最长元之长度。
一般研究员简称其为“BGG分解”。 广义Verma模亦有类似分解。
近来有人研究此等分解之某些特例,以助理解抛物几何(parabolic geometries,嘉当几何之特例)上之不变微分算子。嘉当几何的定义依赖于一李群G与其抛物子群P。参阅[4]、[5]与[6]。
参考
- Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
- Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
- Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
- Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002
参见
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