雅可比Θ函数取二变量与,其中为任何复数,而为上半复平面上一点;此函数之定义为:
- 。
若固定 ,则此成为一周期为的单变量整函数的傅里叶级数:
- 。
在以 位移时,此函数符合:
- ;
其中 与为整数。
可定义辅助函数:
其中符号依黎曼与芒福德之习惯;雅可比的原文用变量替换了,而称本条目中的Θ为,为,为,为。
若设,则我们可从以上获得四支单以为变量之函数,其中取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”(theta constant);我们可以用Θ函数定义一系列模形式,或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得:
- ,
是为四次费马曲线。
我们可用变量与,代替与,来表示ϑ。设而。则ϑ可表示为:
而辅助Θ函数可表示为:
此表示式不需要指数函数,所以适用于指数函数无每一处定义域,如p进数域。
黎曼常用关系式
以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式:
- ;
而此积分于替换下不变。 非零时之积分,在赫尔维茨ζ函数一文有描述。
雅可比用Θ函数来构造椭圆函数,并使其有易于计算之形式,因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商,这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造:
其中二次微分相对于z,而常数c使的罗朗级数(于 z = 0)常项为零,因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数,和为零,而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零,所以这是必要的。
设η为戴德金η函数。则
- .
雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值,τ = it而t取正值。则有
此解此下方程:
- 。
于t = 0时,Θ函数成为“狄拉克梳状函数”(Dirac comb)
- ,
其中δ为狄拉克δ函数,故可知此解是唯一的。
因此,一般解可得自t = 0时的(周期)边界条件与Θ函数的卷积。
雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。
若F为一n元二次型,则有一关连的Θ函数
其中Zn为整数格。此Θ函数是模群(或某适当子群)上的权n/2 模形式。在其富理埃级数
中,RF(k) 称为此模形式之“表示数”(representation numbers)。
设
为一集对称方矩阵,其虚部为正定,一般称Hn为“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z): 当n = 1 时, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群(congruence subgroup)的n维推广为态射核。
若设,则可定义黎曼Θ函数:
- ;
- ;
其中为一n维复向量,上标T为转置。然则雅可比Θ函数为其特例(设n = 1、 ;其中为上半平面)。
在的紧致子集上,黎曼Θ函数绝对一致收敛。
函数方程为:
- ;
此方程成立于
, , 。
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
- G. H. Hardy and E. M. Wright,An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
- David Mumford,Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
- James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
- Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.
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