H-infinity控制

H_∞（H-infinity）控制法是控制理论中用来设计控制器，可以达到稳定性，并且可以保证性能的设计方式。要使用H_∞方法，控制器的设计者需将控制问题表示为数学最佳化问题，并且找到使最佳化成立的控制器。

H_∞较传统控制技术好的优点是可以应用在包括多个变数，各频道之间有互相耦合的问题，而H_∞的缺点是其因为技巧以及其中的数学，若要成功的应用，需要对需控制的系统有很好的建模。很重要的是所得的控制器只是在规定的成本函数下是最佳的，若用一般评估控制器性能方式来评比（例如整定时间、使用能量等），不一定是最佳的。而且像饱和之类的非线性特性也很不好处理。H_∞是在1970年代末及1980年代初由乔治·赞姆斯（英语：George Zames）（灵敏度最小化、sensitivity minimization）^[1]、J. William Helton（宽带匹配、broadband matching）^[2]及Allen Tannenbaum（英语：Allen Tannenbaum）（增益裕度最佳化、gain margin optimization）^[3]等人提出。

H_∞控制的名称是因为最佳化所在的数学空间：H_∞是由在复平面开放右半边Re(s) > 0 内解析及有界的矩阵函数形成的哈代空间。the H_∞模是函数在此空间内的最大单一值。（可以解释为在不同频率、不同方向下的最大增益，若针对SISO系统，就是频率响应的最大值）。H_∞技术可以用来使扰动对闭回路的影响最小化，依照问题的陈述方式，影响可以用稳定性或是性能来表示。

同时要针对性能强健性以及稳定性强健性进行最佳化很不容易。有一个比较类似的作法是H_∞回路整形，可以让控制器的设计者应用经典的回路整形概念到多变数的频率响应中，以得到性能强健性，再在系统带宽附近再微调响应，让稳定性强健性也可以最佳化。

目前已有可以合成H_∞控制器的商业软件。

问题叙述

首先，处理问题时，会用以下的标准组态来进行：

受控体P有二个输入，外来输入w包括了参考信号以及干扰，以及控制变数u。有二个输出，误差信号z是希望可以最小化的值，以及用来控制系统的测量变量v。在方块K中会利用v来计算控制变数u。注意以上的P和K是矩阵，其余的都是向量。

若配合公式，系统为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

因此可以用下式表示z对w的相依性：

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

称为下线性分式转换（lower linear fractional transformation），${\displaystyle F_{\ell }}$定义为（其下标表示“较低的”）

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

因此${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$控制设计的目标是找到控制器${\displaystyle \mathbf {K} }$使用${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$依照${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$计算时有最小值。相同的定义也可以用在${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$控制器设计。传递函数矩阵${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$的无限模定义为：

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

其中${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$是矩阵${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$的最大奇异值（英语：singular value）。

闭回路控制器可以达到的H_∞模主要和D₁₁有关（系统的表示方式为(A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁₁, D₁₂, D₂₂, D₂₁)）。有以下几种方式可以设计H_∞控制器：

• 针对闭回路进行Youla-Kucera参数化，但结果常常会得到非常高阶数的控制器。
• 以Riccati方程为基础的作法，要求解二个Riccati方程来找到控制器，不过需要较多简化的假设。
• 以最佳化为基础的Riccati方程重整，会用到线性矩阵不等式，但需要的假设较少。

相关条目

• 哈代空间
• H square
• H-infinity回路整形
• 线性平方高斯控制（LQG）
• 罗森布鲁克系统矩阵

参考资料

1. Zames, George. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses. IEEE Trans. Automatic Control. 1981, 26 (2): 301–320. doi:10.1109/tac.1981.1102603.
2. Helton, J. William. Orbit structure of the Mobius transformation semigroup action on H-infinity (broadband matching). Adv. Math. Suppl. Stud. 1978, 3: 129–197.
3. Tannenbaum, Allen. Feedback stabilization of linear dynamical plants with uncertainty in the gain factor. International Journal of Control. 1980, 32 (1): 1–16. doi:10.1080/00207178008922838.

参考文献

• Barbu, V.; Sritharan, S. S., H-infinity Control of Fluid Dynamics (PDF), Proceedings of the Royal Society A, 1998, 545: 3009–3033 [2017-08-31], doi:10.1098/rspa.1998.0289, （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）.

• Doyle, John; Francis, Bruce; Tannenbaum, Allen, Feedback Control Theory, MacMillan, 1992.

• Green, M.; Limebeer, D., Linear Robust Control, Prentice Hall, 1995.

• Simon, Dan, Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, Wiley, 2006 [2017-08-31], （原始内容存档于2010-12-30）.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian, Multivariable Feedback Control: Analysis and Design, Wiley, 1996, ISBN 0-471-94277-4.

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian, Multivariable Feedback Control: Analysis and Design 2nd, Wiley, 2005 [2017-08-31], ISBN 0-470-01167-X, （原始内容存档于2016-11-26）.