顶点 (曲线)

在描述曲线时，顶点是指该曲线上曲率相对于附近其他点的极值，更正式地，在几何学中会将曲线中曲率的一阶导数为零的点称为曲线上的顶点^[1]^:570^[2]^:126，而这个点通常会是曲线中的区域极值，如局部最大值或局部最小值^[2]^:127，部分的文献会将曲线的顶点更具体地定义为曲线的局部曲率极点。^[3]^:141然而也有可能存在一些特殊情况，例如二阶导数为零或者曲率为常数等状况。

除了圆形，其他的圆锥曲线皆可以定义出顶点。

双曲线的顶点

双曲线是指两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹^[4]。这个轨迹会形成2个不相交的部分，称为双曲线的分支。一般而言，双曲线会有两个顶点，这两个顶点分别位于双曲线的2个分支中，两者彼此最接近的点^[5]^:310。

抛物线的顶点

抛物线仅有一个顶点，位于其与对称轴的交点上^[6]，其可以透过将曲线对应的二次式做微分找到：^[2]^:127

f(x)=ax^{2}+bx+c

{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=2ax+b

2ax+b=0\leftrightarrow x=-{\frac {b}{2a}}

同时，抛物线也对应到物体抛射与落下的轨迹^[7]，此时抛物线的顶点也代表物体飞行的最高点^[8]。

椭圆与圆的顶点

椭圆有4个顶点，分别位于其与2个对称轴的交点上^[1]^:570^[2]^:127。而圆形每一个点的曲率值都相同，在初等教育中一般会说圆形没有顶点^[9]，亦可以视为圆上的每一点都是顶点^[10]

悬链线的顶点

若一链条（或绳索，电缆，绳索，绳子等）悬挂并自然下垂，且施加的任何拉力与链条平行，则此链条所形成的曲线称为悬链线^[11]。悬链线的最低点称为悬链线的顶点。^[12]

曲线中的顶点通常会使得位于曲线该点的密接圆与曲线形成4个触点^[2]^:126^[3]^:142，而曲线中不是顶点的点一般而言位于曲线该点的密接圆只会与曲线形成3个触点。当曲线有顶点时，曲线的渐屈线上通常会存在尖点^[3]^:142。此外，进一步退化的非稳定奇点可能会发生于高阶的顶点上。在该顶点上，密接圆与曲线形成的触点会比四阶更高。^[2]^:126

四顶点定理

根据四顶点定理，每个简单的闭合平面光滑曲线必须至少具有四个顶点。^[13]^[14]^[15]更一般地，位于凸体空间或区域闭圆盘的简单封闭空间曲线都应至少存在4个顶点^[16]^[17]。

顶点可以代表曲线的极端值，类似地这个定义在文化中的一般常见用法（如：达到顶点）则可以代表某范围或某领域的最高点^[18]。这种定义与一般几何学的顶点不同，一般几何学中，多面体的顶点是指多个几何物件交于一点所形成的点，然而在描述“相对高点”时，顶点的定义就变成相对于底的点，如探讨高线时^[19]。

[1]
Agoston, Max K., Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, Springer, 2005, ISBN 9781852338176
[2]
Gibson, C. G., Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, 2001, ISBN 9780521011075
[3]
Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, 2007, ISBN 9780821843161
[4]
Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A., New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America: 251, 2012, ISBN 978-0-88385-354-2
[5]
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr., College Calculus with Analytic Geometry 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1970, LCCN 76087042
[6]
Vertex of a Parabola. mathwarehouse.com. [2019-09-26]. （原始内容存档于2021-02-24）.
[7]
Dialogue Concerning Two New Sciences (1638) (The Motion of Projectiles: Theorem 1)
[8]
基礎物理二B (PDF), [2019-09-26], （原始内容存档 (PDF)于2022-03-14）
[9]
张英杰. 兒童幾何形體概念之初步探究 (PDF). 国北教大教务处. [2019-09-26]. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-26）.
[10]
MCS 481 Project One : planar convex hulls, sweeps, and overlays (PDF). math.uic.edu. [2019-09-26]. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-26）.
[11]
Church, Irving Porter. Mechanics of Engineering. Wiley. 1890: 387.
[12]
Routh, Edward John. Chapter X: On Strings. A Treatise on Analytical Statics. University Press. 1891.
[13]
Agoston, Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, 2005,^[1] Theorem 9.3.9, p. 570
[14]
Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, 2001,^[2] Section 9.3, "The Four Vertex Theorem", pp. 133–136
[15]
Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, 2007,^[3] Theorem 10.3, p. 149.
[16]
Sedykh, V.D., Four vertices of a convex space curve, Bull. London Math. Soc., 1994, 26 (2): 177–180
[17]
Ghomi, Mohammad, Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, 2015, Bibcode:2015arXiv150107626G, arXiv:1501.07626 
[18]
【頂點】. 教育部重编国语辞典修订本. [2019-09-26]. （原始内容存档于2021-04-17）.
[19]
R.A.约翰逊，单墫译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5.

[Agoston_2005-1] [1]
Agoston, Max K., Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, Springer, 2005, ISBN 9781852338176

[Gibson_2001-2] [2]
Gibson, C. G., Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, 2001, ISBN 9780521011075

[Fuchs_Tabachnikov_2007-3] [3]
Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, 2007, ISBN 9780821843161

[4] [4]
Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A., New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America: 251, 2012, ISBN 978-0-88385-354-2

[5] [5]
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr., College Calculus with Analytic Geometry 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1970, LCCN 76087042

[6] [6]
Vertex of a Parabola. mathwarehouse.com. [2019-09-26]. （原始内容存档于2021-02-24）.

[7] [7]
Dialogue Concerning Two New Sciences (1638) (The Motion of Projectiles: Theorem 1)

[8] [8]
基礎物理二B (PDF), [2019-09-26], （原始内容存档 (PDF)于2022-03-14）

[9] [9]
张英杰. 兒童幾何形體概念之初步探究 (PDF). 国北教大教务处. [2019-09-26]. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-26）.

[10] [10]
MCS 481 Project One : planar convex hulls, sweeps, and overlays (PDF). math.uic.edu. [2019-09-26]. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-26）.

[11] [11]
Church, Irving Porter. Mechanics of Engineering. Wiley. 1890: 387.

[12] [12]
Routh, Edward John. Chapter X: On Strings. A Treatise on Analytical Statics. University Press. 1891.

[13] [13]
Agoston, Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, 2005,^[1] Theorem 9.3.9, p. 570

[14] [14]
Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, 2001,^[2] Section 9.3, "The Four Vertex Theorem", pp. 133–136

[15] [15]
Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, 2007,^[3] Theorem 10.3, p. 149.

[Sedykh_1994-16] [16]
Sedykh, V.D., Four vertices of a convex space curve, Bull. London Math. Soc., 1994, 26 (2): 177–180

[Ghomi_2015-17] [17]
Ghomi, Mohammad, Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, 2015, Bibcode:2015arXiv150107626G, arXiv:1501.07626 

[18] [18]
【頂點】. 教育部重编国语辞典修订本. [2019-09-26]. （原始内容存档于2021-04-17）.

[19] [19]
R.A.约翰逊，单墫译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

双曲线的顶点

抛物线的顶点

椭圆与圆的顶点

悬链线的顶点

四顶点定理

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顶点 (曲线)

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圆锥曲线的顶点

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其他特性

其他用法

参见

参考文献