音高集合

音高集合（英语：Pitch class）是一个集合，其中所有的音高都刚好差整数倍的八度音，举例来说，音高集合C包含了所有八度音中的C ^[1][2]。若以科学音高记法来表示，则音高集合C如下：

{C_n : n 为整数} = {..., C_-2, C_-1, C₀, C₁, C₂, C₃ ...};

八度音

所有钢琴上的C(除了三角钢琴上的C₈)

其中，C₂比C₁高八度音，频率为后者两倍，数字每多一，就高一个八度，频率变两倍。虽然n没有正式的范围，但人耳只听得到部分的音高(约20赫兹至18000赫兹)，故n大多范围在0到11之间。人耳对音高的感知是对数–线性，且在同一音高集合中的音高，因为频率为倍数关系，彼此有叠加的关系，故听起来非常和谐，有相似的感受，此关系称为“等价八度”，故音高集合的概念非常重要。

心理学家把音高的特性称为色度^[3]，在同一个音高集合中，有不同频率的音高组合，但每个音高都有着相同的色度，若以色彩当对照比喻的话，可以把音高集合想成装有白色物体的集合，里面的东西不同，但彩度都为白色^[4]。

要注意在标准西方音乐标记中，不同的符号可能代表相同的音高，譬如: B♯₃, C₄, 和 D₄ 都是相同的，因此也有着一样的色度，被归类在同一种音高集合中。

整数标记法

为了避免相同标记造成误会，音高集合通常用数字来表示音高集合，以常见的十二平均律为例，一个八度可以平均分成十二个等分，数字由0到11，每个数字都比前个数字高一个半音，不会有12的出现，因为12刚好到达八度音，频率两倍，会算在音高集合第0类。故可直接将MIDI值除以12，余数相同的就会在对应的音高集合中。

音符频率

根据美国标准协会定义，A₄的频率为440赫兹，故低一个八度音的A₃频率为A4一半(220赫兹)。A₃到A₄之间差了一个八度音程，由十二平均律师可平分为12等份的半音，r为每个半音所差的频率倍数，B比A高了两个半音，C比A高了三个半音，可依此计算各个音符的频率。 ${\displaystyle r={\sqrt[{12}]{2}}}$

${\displaystyle Freq_{B_{4}}=440\times r^{2}=440\times 2^{\frac {2}{12}}\approx 493.88Hz}$

${\displaystyle Freq_{C_{4}}=440\times r^{3}=440\times 2^{\frac {3}{12}}\approx 523.25Hz}$

MIDI值

MIDI 值用0~127的实数来代表C_-2到G₈的音高，若高一个半音，则数字多一，A₄的MIDI值为69，B₄的MIDI值为71，C₄的MIDI值为72以此类推。若想计算每个音高的MIDI值和频率，可用以下方程式计算，f 是基频(单位为赫兹)，p是MIDI值：

${\displaystyle p=69+12\log _{2}({f/440})}$

故可将MIDI值直接除以12，即可得到对应音高集合，我们也可用符号取代整数标记法。

${\displaystyle 0\equiv C}$

${\displaystyle 1\equiv C\#/Db}$

${\displaystyle 2\equiv D}$

但有时10,11分别会用"t","e"表示，或是"A","B"表示。

应用

音高集合与色度可应用在复音(和弦)的特征抽取，复音代表同时有两个以上的音，彼此可能有不同的音频，故有多个音高集合构成，且可转换成色度用向量去纪录各个音高集合的比重，如果以最常见的十二平均律为例，可以用一个十二维的向量来代表色度，第一维代表着音高集合C的比重，第二维代表着音高集合C#的比重，第三维代表着音高集合D的比重，以此类推，则C大三和弦，以色度表示，第一维(C)、第五维(E)、第九维(G)的值会特别大，但是其他九维的值也不会等于零，因为弦乐器有除了基本音频外，还有第一泛音、第二泛音、第三泛音等等，且和弦为复音，彼此的泛音又会共鸣，造成许多组成音以外的音。若可取出大量和弦音讯的十二维色度特征，即可透过机器学习的方法，由电脑自动判断新音讯之合弦。但此特征抽取的方法有个小缺陷，因为色度无法分辨音高来自哪个八度音，故无法分辨出二度音和九度音，故会造成有些特殊和弦无法区别，比如说九和弦、十一和弦、十三和弦。

参见

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资料来源

1. Arnold Whittall, The Cambridge Introduction to Serialism (New York: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (pbk).
2. Don Michael Randel, ed. (2003). "Set theory", The Harvard Dictionary of Music, p.776. Harvard. ISBN 9780674011632.
3. Tymoczko, Dmitri (2011). A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice, p.30. Oxford Studies in Music Theory. ISBN 9780199714353.
4. Müller, Meinard (2007). Information Retrieval for Music and Motion, p.60. ISBN 9783540740483. "A pitch class is defined to be the set of all pitches that share the same chroma."

1. Arnold Whittall, The Cambridge Introduction to Serialism (New York: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (pbk).

2. Don Michael Randel, ed. (2003). "Set theory", The Harvard Dictionary of Music, p.776. Harvard. ISBN 9780674011632.

3. Tymoczko, Dmitri (2011). A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice, p.30. Oxford Studies in

4. Music Theory. ISBN 9780199714353.

5. Müller, Meinard (2007). Information Retrieval for Music and Motion, p.60. ISBN 9783540740483. "A pitch class is defined to be the set of all pitches that share the same chroma."

6. Whittall (2008), p.273.Robert D. Morris, "Generalizing Rotational Arrays", Journal of Music Theory 32, no. 1 (Spring 1988): 75–132, citation on 83.

延伸阅读

1. Purwins, Hendrik (2005). "Profiles of Pitch Classes: Circularity of Relative Pitch and Key—Experiments, Models, Computational Music Analysis, and Perspectives". Ph.D. Thesis. Berlin: Technische Universität Berlin.

2. Rahn, John (1980). Basic Atonal Theory. New York: Longman; London and Toronto: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3. Reprinted 1987, New York: Schirmer Books; London: Collier Macmillan.

3. Schuijer, Michiel (2008). Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. Eastman Studies in Music 60. Rochester, NY: University of Rochester Press. ISBN 978-1-58046-270-9.