虚功

在分析力学里，施加于某物体的作用力，由于给定的虚位移，所做的机械功，称为虚功（英语：virtual work）。以方程表达，虚功${\displaystyle \delta W}$是

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} }$；

粒子的运动轨道与虚轨道分别为${\displaystyle x(t)}$与${\displaystyle x'(t)}$。在位置${\displaystyle x_{1}}$、时间${\displaystyle t_{1}}$，虚位移为${\displaystyle \delta x}$。两种轨道的初始位置与终止位置分别为${\displaystyle x_{0}}$与${\displaystyle x_{2}}$。

其中，${\displaystyle \mathbf {F} }$是作用力，${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$是虚位移。

在这篇文章里，位移指的是平移运动所造成的位移或旋转运动所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虚位移不是实际的位移，而是一种虚构的、理论上的位移，是一种只涉及位置，不涉及时间的变化。每一个虚位移既是自变量（independent variable），又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性，在数学关系式里，能够推导出许多重要的结果。例如，思考下述矩阵方程：

${\displaystyle \mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q} }$都是矢量，${\displaystyle \mathbf {B} }$是方块矩阵。

假若，${\displaystyle \mathbf {R} }$是个任意非零矢量，则可以将任意项目${\displaystyle \mathbf {R} }$从方程中除去，得到${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q} }$。

虚功原理

虚功原理阐明，一个物理系统处于静态平衡（static equilibrium），当且仅当，所有施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所做的虚功的总和等于零^[1][2]。以方程表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

考虑一个由一群质点组成，呈静态平衡的物理系统，其内部任意一个质点${\displaystyle P_{i}}$可能感受到很多个作用力。这些作用力的总和${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$等于零：

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=0}$。

给予这质点${\displaystyle P_{i}}$ 虚位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$，则合力${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$所做的虚功${\displaystyle \delta W_{i}}$为零：

${\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

总合这系统内做于每一个质点的虚功，其答案也是零：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

将合力细分为外力${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$与约束力${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

假设所有约束力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零^[3]：

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$，

则约束力项目可以从方程中除去，从而得到虚功原理的方程：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$。

注意到这推论里的约束力假设。在这里，约束力就是牛顿第三定律的反作用力。因此，可以称此假设为反作用力的虚功假设：所有反作用力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零。这是分析力学额外设立的假设，无法从牛顿运动定律推导出来^[1]。

在动力学里，虚功原理会被推广为达朗贝尔原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。更详尽细节，请参阅相关条目。

适用案例

在此特别列出几个案例，展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零：

• 刚体的约束条件是一种完整约束，以方程表达，${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}}$；其中，刚体内部的质点${\displaystyle P_{i}}$、${\displaystyle P_{j}}$的位置分别为${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$，它们之间的距离${\displaystyle L_{ij}}$是个常数。所以，两个质点的虚位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}}$之间的关系为

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$。

在这里，有两种可能的状况：

1、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}}$：

对于这状况，由于${\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}}$，两个作用力所做的虚功相互抵销，也就是说，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0}$，

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

2、${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}$ :

由于${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}$，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$。

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

所以，在刚体内，质点与质点之间的约束力所作的虚功的总合是零。

• 思考置放于平滑地面上的一块木块。因为木块的重量，而产生的反作用力，是地面施加于木块的一种约束力。注意到对于这案例，符合约束条件的虚位移必须与地面平行，所以，地面施加的约束力垂直于虚位移，它所作的虚功等于零。^[3]。

在位形空间的意义

将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$和广义坐标${\displaystyle q_{i}}$表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0}$。

设定一个${\displaystyle N}$维位形空间，其坐标为${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$，其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里，广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})}$垂直于符合约束条件的虚位移${\displaystyle \delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})}$。

假设，这物理系统没有任何约束条件，则虚位移可以是任意矢量。但是，广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$不可能垂直于${\displaystyle N}$维位形空间里的每一个矢量，所以，广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$必须等于零。

假设，这物理系统有${\displaystyle L}$个约束条件，则自由度为${\displaystyle N-L}$，位形点必需处于位形空间的某${\displaystyle N-L}$维子空间，而广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$必须垂直于这子空间，因此必需使用${\displaystyle N-L}$个运动方程来表达这物理系统。

保守系统

假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是标量的广义位势函数${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$的对于其对应的广义坐标的负偏导数：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}$。

虚功与广义位势的关系为

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0}$。

由于位势的变分${\displaystyle \delta V}$等于零，一个静态平衡系统的位势${\displaystyle V}$乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这系统处于稳定状态，则位势${\displaystyle V}$必须是个局域极小值。

参见

• 柔度法（英语：flexibility method）
• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学

参考文献

1. Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8 引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 （英语） 引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 （英语）. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部链接

• 虚功原理的应用实例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）