类数公式

在数论中，类数公式涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值。

类数公式的一般性陈述

数域 K 有扩张[K:Q]=r=r₁+2r₂, ${\displaystyle r_{1}}$ 为 K的实素点个数,${\displaystyle 2r_{2}}$ 为 K的复素点个数. K戴德金zeta函数记为:${\displaystyle \zeta _{K}(s)\,}$ 则有下列不变量：

• ${\displaystyle h_{K}}$ 为K的理想类群的阶
• ${\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}}$ K的素点
• ${\displaystyle w_{K}}$ 为K的单位根个数
• ${\displaystyle D_{K}}$ 为K在K/Q扩张的判别式
  • 定理1（类数公式）数域 K 的戴德金zeta函数${\displaystyle \zeta _{K}(s)\,}$绝对收敛，并对复平面${\displaystyle \Re (s)>1}$，且s =1时，只有一个极点的亚纯函数，其留数为：

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h_{K}\cdot \operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下，例如当K是分圆域的扩张，也有简化的类数公式。

狄利克雷类数公式

• 以下参考达文波特。[1]狄利克雷在1839年证明了第一类数公式，但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位的判别式，写判别ð二次型的等价类数h为（D）。${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$是Kronecker符号，则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ)，

对于d>0，让t> 0，u>0 则满足u是最小的解Pell方程${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$，如记:${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$（ε也是实2次域的基本单位或基本单位的平方）， 对于d<0，记w为判别式d的二次型的自同构个数，则：

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

然后狄利克雷证明出：

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\frac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\frac {\sqrt {d}}{\ln \epsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

这是上述定理1一个特殊情况：只对一个二次域K戴德金zeta函数的结论：${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$, 留数为${\displaystyle L(1,\chi )}$.狄利克雷也证明了，L序列可以写成有限形式，从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为：

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\frac {\pi }{|d|^{3/2}}}\sum _{m=1}^{|d|}m\left({\frac {d}{m}}\right),&d<0;\\-{\frac {1}{d^{1/2}}}\sum _{m=1}^{d}\left({\frac {d}{m}}\right)\ln \sin {\frac {m\pi }{d}},&d>0.\end{cases}}}$

参考文献

• W. Narkiewicz. Elementary and analytic theory of algebraic numbers 2nd ed. Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. 1990: 324–355. ISBN 3-540-51250-0. 引文格式1维护：冗余文本 (link)