单位根

数学上，${\displaystyle \,n\,}$次单位根是${\displaystyle \,n\,}$次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正多边形的顶点，但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。

复平面上的三次单位根

定义

${\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}$

这方程的复数根 ${\displaystyle z\,}$为${\displaystyle n\,}$次单位根。

单位的 ${\displaystyle n\,}$次根有 ${\displaystyle n\,}$个：

${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)}$。

本原根

单位的 ${\displaystyle n\,}$次根以乘法构成${\displaystyle n}$阶循环群。它的生成元是 ${\displaystyle n\,}$次本原单位根。${\displaystyle n\,}$次本原单位根是${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}}$，其中${\displaystyle k\,}$和${\displaystyle n\,}$互质。${\displaystyle n\,}$次本原单位根数目为欧拉函数${\displaystyle \varphi (n)}$。 全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

一次单位根有一个: ${\displaystyle 1\,}$。

二次单位根有两个: ${\displaystyle 1\,}$和${\displaystyle -1\,}$，只有${\displaystyle -1\,}$是本原根。

三次单位根是

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}$

其中${\displaystyle {i}}$是虚数单位；除${\displaystyle 1\,}$外都是本原根。

四次单位根是

${\displaystyle \left\{1,i,-1,-i\right\},}$

其中${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$是本原根。

和式

当${\displaystyle n\,}$不小于${\displaystyle 2\,}$时，${\displaystyle n\,}$次单位根总和为${\displaystyle 0\,}$。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi {n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0}$。

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的${\displaystyle x^{n-1}\,}$项系数为零得出。