符号函数

符号函数（Sign function，简称sgn）是一个逻辑函数，用以判断实数的正负号。为避免和英文读音相似的正弦函数（sine）混淆，它亦称为Signum function。其定义为：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.}$

符号函数
性质
奇偶性	奇函数
定义域	(-∞,∞)
到达域	${\displaystyle \operatorname {sgn} x\in \{-1,0,1\}}$
周期	N/A
特定值
当x=0	0
当x=+∞	1
当x=-∞	-1
最大值	1
最小值	-1
其他性质
渐近线	N/A
根	0
临界点	N/A
拐点	N/A
不动点	0,1,-1

符号函数的微分

符号函数（蓝色）、符号函数的微分（橘色），其中，符号函数的微分正好是2倍的狄拉克δ函数

性质

用艾佛森括号定义：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]}$

任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积：

${\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)|x|}$

若x不为零，可以由上式得出符号函数的另一个定义：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}}$

符号函数是绝对值函数的导数：

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x}$

除了在0，符号函数可微分，其导数为0。透过一般化微分概念，可以说符号函数的导数是狄拉克δ函数的两倍：

${\displaystyle {d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x)}$

它和单位步阶函数的关系：

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H_{1/2}(x)-1}$

推广到复数

符号函数可以推广到复数：对于任意${\displaystyle z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}}$，

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$

对于任何z ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} }$，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：

${\displaystyle \operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,}$

其中arg表示辐角。
出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：

${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=\operatorname {sgn}(0+0i)=0.}$

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}}$

即是在一四象限及 xy 轴正半轴为1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点为0。
对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$