物理学中,物理空间代数 (APS)是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数
作为(3+1)维时空的模型,通过副向量(3维向量加1维标量)表示时空中的一个点。
克利福德代数
在旋量表示
上有由泡利矩阵生成的忠实表示;此外,
同构于克利福德代数
的偶子代数
。
APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。
注意APS与时空代数(STA)不同,后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数
。
保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换,可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现:
在矩阵表示中,洛伦兹转子被看作是
群(复数上度为2的特殊线性群)的一个例子,其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件,转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积:
此洛伦兹转子总可以分解为两个因子,是厄米的
与幺正的
,使得
酉元R称作转子,因为其编码了旋转,厄米元B则编码了递升。
四维速度也称原速,定义为时空位置副向量对原时τ的导数:
定义普通速度为
回想伽马因子的定义:
于是原速的更紧凑定义是:
原速是正幺模副向量,意味着下列克利福德共轭条件:
在洛伦兹转子L作用下,原速变换为
APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到:
质壳条件转化为
电磁场可表为双副向量F:
其中厄米部分代表电场E,反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中,电磁场为
场F的源是电磁四维电流
其中标量部分等于电荷密度ρ,向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量:
当中标量部分等于电势ϕ,向量部分等于磁势A。则电磁场为
此场也可分为电部分
与磁部分
当中
且F在下列规范变换下不变:
其中
是标量场。
电磁场在洛伦兹变换下是协变的,规律是
麦克斯韦方程组可用单一方程表示:
其中上横线表示克利福德共轭。
洛伦兹力方程形式为
电磁拉格朗日量是
是实标量不变量。
对质量为m、电荷为e的带电粒子,其狄拉克方程的形式为
其中
是任意酉向量,A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。
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