渐伸线

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点S。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在P的切线上的Q，使得曲线长SP 和直线段长PQ 相同。渐伸线就是Q的轨迹。

若曲线B有参数方程${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$，其中${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$，曲线A的方程为${\displaystyle t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)}$。

曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。

若该曲线有参数方程${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$（${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$），则其渐屈线为

${\displaystyle s\to r(s)+{r''(s) \over |r''(s)|^{2}}}$。

每条曲线可有无穷多条渐伸线，但只有一条渐屈线。

渐屈线	渐伸线
悬链线	曳物线
圆内螺线／外摆线	相似的圆内螺线／外摆线
摆线	相同的摆线
半立方抛物线	抛物线

参数化曲线

渐开线方程曲线的参数化定义的函数( x(t) , y(t) ) 是:

${\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

范例

圆的渐伸线 (反向, by unwinding)

悬链线的渐开线是一个 曳物线。

圆的渐伸线

圆的渐伸线会形成一个类似阿基米德螺线的图形。

• 在笛卡儿坐标系中，一个圆的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle \,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)}$

${\displaystyle \,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)}$

其中${\displaystyle \,a}$是圆的半径，${\displaystyle \,t}$为参数

• 在 极坐标系中， ${\displaystyle \,r,\theta }$ 一个圆的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle \,r=a\sec \alpha }$

${\displaystyle \,\theta =\tan \alpha -\alpha }$

其中 ${\displaystyle \,a}$ 是圆的半径 ${\displaystyle \,\alpha }$为参数

通常，一个圆的渐开线常被写成写成：

${\displaystyle \,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \,\theta =\arctan {\frac {\cos t+t\sin t}{\sin t-t\cos t}}}$.

欧拉建议使用圆的渐开线作为齿轮的形状, 这个设计普遍存在于目前使用，称为渐开线齿轮。

悬链线的渐开线

一个悬链线的渐开线 会通过此悬链线的顶点 ，形成曳物线。 在笛卡儿坐标系中，一个悬链线的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle x=t-\mathrm {tanh} (t)\,}$

${\displaystyle y=\mathrm {sech} (t)\,}$

其中t 是参数，而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))

衍生

用${\displaystyle r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,}$

我们得到 ${\displaystyle r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,}$

且${\displaystyle r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})}$。

替代成${\displaystyle t={\sqrt {1-y^{2}}}/y}$

可得到 ${\displaystyle ({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)}$。

摆线的渐开线

一个 摆线的渐开线是另一个与它 全等的摆线 在笛卡儿坐标系中，一个摆线的渐开线的参数方程可以写成：

${\displaystyle x=r(t-\sin(t))\,}$

${\displaystyle y=r(1-\cos(t))\,}$

其中t是角度，r是半径

参见

• 渐屈线
• 涡旋压缩机
• 渐开线齿轮

外部链接

• Xah: Special Plane Curves: Involute （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Evolute （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）