测度空间

测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面积概念的推广，由一个基本的集合 ${\displaystyle X}$ 以及基于这集合的某些子集合所构成的一个新的集合 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，这新集合会满足 σ-代数的性质，直觉的讲，对 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的元素我们都可以用某种方法去“测量”其大小、面积或概率等，其真正意义要看所在空间 ${\displaystyle X}$ 来决定。和一个定义在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上满足某些特别性质的(非负)函数 ${\displaystyle \mu }$，也就是测度，测度空间就由这三部分，${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$，所构成。测度空间的一个实例是概率空间。

可测度空间(measurable space)包含前两部分但不含测度。

定义

一个测度空间包含三部分信息 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$，且满足下列条件：^[1][2]

• ${\displaystyle X}$ 为非空集合
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 为 ${\displaystyle X}$ 上的一个 σ-代数，也就是满足某些条件的 ${\displaystyle X}$ 中的一些子集构成的集合。
• ${\displaystyle \mu }$ 为 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ 上的测度，换句话讲，是一个定义在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的有特别性质的(非负)函数。

例子

对集合

${\displaystyle X=\{0,1\},}$

取

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$

定义

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$

则根据测度的可数可加性，${\textstyle \mu (\{0,1\})=1.}$ 另根据测度的定义，${\textstyle \mu (\emptyset )=0.}$ 则${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$为一个测度空间。

本例中的测度对应于${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$的伯努利分布。

参见

• 幂集
• 可测空间

参考文献

1. Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
2. Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.