测度

在数学中，测度是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）和其他常见概念（如大小、质量和事件的概率）广义化后产生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的，为了把积分推广到更一般的集合上，人们就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它从 ${\displaystyle n}$ 维欧式空间 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 出发，概括了传统长度、面积和体积等等的概念。

测度具有单调性，如果集合A是集合B的子集，那么集合A的测度小于或等于集合B的测度。此外空集的测度为0。例如体积（物体所占据的空间的大小）就是一种测度。

研究测度的学问被统称为测度论，因为指定的数值通常是非负实数，所以测度论通常会被视为实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

正式定义

定义 — ${\displaystyle (X,\,\Sigma )}$ 为可测空间，函数 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}$ 若满足：

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ (空集合的测度为零)

• 可数可加性( ${\displaystyle \sigma }$-可加性)： 若集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 对所有不相等正整数 ${\displaystyle i\neq j}$ 都有 ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$，则

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$。

那 ${\displaystyle \mu }$ 被称为定义在 ${\displaystyle \Sigma }$ 上的一个非负测度，或简称为测度。为了叙述简便起见，也可称 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 为一测度空间。

直观上，测度是“体积”的推广；因为空集合的“体积”当然为零，而且互相独立的一群（可数个）物体，总“体积”当然要是所有物体“体积”直接加总（的极限）。而要定义“体积”，必须先要决定怎样的一群子集合，是“可以测量的”，详细请见σ-代数。

如果将 ${\displaystyle \mu }$ 的值域扩展到复数，也就是说 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ，那 ${\displaystyle \mu }$ 会被进一步称为复数测度。^[1]

定义的分歧

若照着上述定义，根据可数可加性，不少母集合本身的测度值会变成无穷大（如对 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 本身取勒贝格测度），所以实际上不存在。但某些书籍^[2]会形式上将无穷大视为一个数，而容许测度取值为无穷大；这样定义的书籍，会把只容许有限实数值的测度称为（非负）有限测度。但这样"定义"，会造成可数可加性与数列收敛的定义产生矛盾。

所以要延续体积是一种＂度量＂的这种直观概念（也就是严谨的定义勒贝格测度），那就必须把σ-代数换成条件比较宽松的半集合环（英语：Semiring#Semiring_of_sets），然后以此为基础去定义一个对应到＂体积＂的前测度（英语：Pre-measure）。

更进一步的，如果对测度空间 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 来说，母集合 ${\displaystyle X}$ 可表示为 ${\displaystyle \Sigma }$ 内的某可测集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 的并集：

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$

且 ${\displaystyle \mu }$ 只容许取有限值，则 ${\displaystyle \mu }$ 会被进一步的称为（非负）σ-有限测度。

性质

单调性

测度${\displaystyle \mu \ }$的单调性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$和${\displaystyle E_{2}\ }$为可测集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$，则${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$。

可数个可测集的并集的测度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$为可测集（不必是两两不交的），则集合${\displaystyle E_{n}\ }$的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$

如果还满足并且对于所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n}\ }$⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$，则如下极限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

可数个可测集的交集的测度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$为可测集，并且对于所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n+1}\ }$⊆${\displaystyle E_{n}\ }$，则${\displaystyle E_{n}\ }$的交集是可测的。进一步说，如果至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$的测度有限，则有极限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

如若不假设至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

完备性

定义 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 是测度空间，若${\displaystyle N\in \Sigma }$ 且 ${\displaystyle \mu (N)=0\ }$，则 ${\displaystyle N}$ 被称为零测集（null set ）。

若所有零测集的子集都可测，则 ${\displaystyle \mu }$ 称为完备的（complete）。

直观上，因为测度的单调性，只要包含于零测集的集合，也“应该”是零测集，完备测度的定义体现了这个直观的想法。更进一步的，任意测度可以按如下的定理扩展为完备测度：^[3]

定理 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 是测度空间，若取：

${\displaystyle \Sigma ^{\star }:={\bigg \{}S\,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\}{\bigg \}}}$

那 ${\displaystyle \Sigma ^{\star }}$ 是一个Σ-代数，此时若定义：

${\displaystyle \mu ^{\star }:={\bigg \{}\langle S,\,r\rangle \,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\wedge [r=\mu (A)]\}{\bigg \}}}$

那 ${\displaystyle \mu ^{\star }}$ 是定义在 ${\displaystyle \Sigma ^{\star }}$ 上的完备测度，且有：

${\displaystyle (\forall S\in \Sigma )[\mu ^{\star }(S)=\mu (S)]}$

证明

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

• 计数测度　定义为${\displaystyle \mu (S)=S\ }$的“元素个数”。
• 一维勒贝格测度是定义在${\displaystyle \mathbb {R} }$的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足${\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }$的唯一测度。
• Circular angle测度是旋转不变的。
• 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
• 恒零测度定义为${\displaystyle \mu (S)=0\ }$，对任意的${\displaystyle S\ }$。
• 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

相关条目

• 外测度（Outer measure）
• 几乎处处（Almost everywhere）
• 勒贝格测度（Lebesgue measure）
• 勒贝格积分
• 法图引理(Fatou's lemma)
• 富比尼定理(Fubini's theorem)
• 可测基数

参考文献

1. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
2. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
3. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333.

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学） （页面存档备份，存于互联网档案馆）