洛伦兹因子

洛伦兹因子是一个出现在狭义相对论中的速记因子，得名于荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹，被用于计算时间膨胀、长度收缩、相对论质量等相对论效应。

定义

洛伦兹因子定义为：

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$

其中

• v为两惯性系之间的相对速度，
• c为真空中光速，
• β为v除以光速c的比值，
• τ为固有时，
• t为坐标时间。

一些作者另外定义了洛伦兹因子的倒数：^[1]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}$

可用于速度相加推导。

例子

相对论性条件(近光速)下，物体的总能量${\displaystyle E}$与动量${\displaystyle p}$可以通过洛伦兹因子${\displaystyle \gamma }$简单写为：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

其中${\displaystyle m}$为静质量。

在四维矢量描述下，能-动矢量则成为：

${\displaystyle \mathbf {p} ^{(4)}=({E \over c},\mathbf {p} )=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )=m(\gamma c,\gamma \mathbf {v} )=m\mathbf {v} ^{(4)}}$

和牛顿力学的三维动量${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$定义相似。

数值

洛伦兹因子与速度的关系。速度为零时洛伦兹因子为1，速度${\displaystyle v\to c}$时洛伦兹因子趋于无穷大。

下表中，最左栏为以c为单位的速率；中间栏显示相应的洛伦兹因子；最右栏为洛伦兹因子的倒数。以粗体字显示者为精确值。

速率（c为单位）	洛伦兹因子	倒数
${\displaystyle \beta =v/c\,\!}$	${\displaystyle \gamma \,\!}$	${\displaystyle \alpha \equiv 1/\gamma \,\!}$
0.000	1.000	1.000
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045

非相对论性条件

当速度远小于光速（非相对论性条件下），即${\displaystyle v\ll c}$，则${\displaystyle \beta }$趋近于0，而${\displaystyle \gamma }$趋近于1，回到传统的牛顿力学描述。

参考资料

1. Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.