速度加成式

物理学中，速度加成式是将不同参考系下个别描述同一移动物体速度的关联方程。

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

伽利略速度加成

伽利略观察到：当一艘船以相对海岸的速度v移动，而在船上量到一只苍蝇以速度u移动，则海岸边的人会测到的苍蝇速度服从速度加成式：

${\displaystyle \,\mathbf {s} =\mathbf {v} +\mathbf {u} }$

其中s是相对于海岸的苍蝇速度。

在船与苍蝇速度都远小于真空中光速c时，这个矢量直接相加的速度加成式大致正确。此为牛顿力学的一项运动学基础。适用牛顿力学的伽利略宇宙采用了绝对时空的概念，而速度加成服从伽利略变换的关系式。

狭义相对论

上述的例子在狭义相对论的情形，船参考系的时钟与尺与岸上的不同。同时的概念也有所改变，因此速度加成式也不一样。这些差异在速度远小于c的情形是可忽略的，而在接近光速时就变得重要。对于同一直线上（共线性）的运动，速度加成式变为：

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

其与双曲正切函数的加成式形式相同：

${\displaystyle \tanh(\alpha +\beta )={\tanh(\alpha )+\tanh(\beta ) \over 1+\tanh(\alpha )\tanh(\beta )}}$

其中

${\displaystyle {v \over c}=\tanh(\alpha )\ ,\quad {u \over c}=\tanh(\beta )\ ,\quad \,{s \over c}=\tanh(\alpha +\beta )}$。

可看出共线性的速度加成是符合结合律与交换律的。物理量α与β（等于速度除以c的artanh）称为快度。如此原因是因为相对论中的洛伦兹变换可想作是双曲旋转，旋转角度即快度，而这个转角是可以加成的。

速度加成式有另个等价代数形式，透过光速不变原理可导得：^[1]

${\displaystyle {c-s \over c+s}=\left({c-u \over c+u}\right)\left({c-v \over c+v}\right).}$

共线性的速度加成式为最初验证狭义相对论运动学的一项测试。如迈克耳孙干涉仪、菲佐实验都是这类实验，其中用到与光行进方向相同的流动液体。光在液体中的速率叫真空中为慢，并且随着流体速度变化。相关实验皆显示相对论的速度加成式是正确的。

相关条目

• 伽利略变换
• 洛伦兹变换
• 洛伦兹群
• 复四元数

参考文献

1. Mermin, N. David (2005). It's About Time: Understanding Einstein's Relativity. Princeton University Press, p. 37. ISBN 0-691-12201-6.

外部链接

• （英文）阿诺·索末菲(1909): On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity, Verh. der DPG, 21: 577-582