毕奥-萨伐尔定律

在静磁学里，毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）以方程描述，电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似，当电流缓慢地随时间而改变时（例如当载流导线缓慢地移动时），这定律成立，磁场与电流的大小、方向、距离有关^[1]。毕奥-萨伐尔定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥与费利克斯·萨伐尔命名。

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“${\displaystyle '\,\!}$”；源变数的标记的后面有单撇号“${\displaystyle '\,\!}$”。

让-巴蒂斯特·毕奥

毕奥-萨伐尔定律表明，假设源位置为${\displaystyle \mathbf {r} '}$的微小线元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}$有电流${\displaystyle I}$，则${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}$作用于场位置${\displaystyle \mathbf {r} }$的磁场为

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$；

其中，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} }$是微小磁场（这篇文章简称磁通量密度为磁场），${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常数。

已知电流密度${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}$，则有：

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}{r}'}$；

其中，${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{r}'}$为微小体积元素，${\displaystyle \mathbb {V} '}$是积分的体积。

在流体力学中，以涡度对应电流、速度对应磁场强度，便可应用毕奥-萨伐尔定律以计算涡线（vortex line）导出的速度。

概念

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制，用方程表示，

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\mathbb {L} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$；

其中，${\displaystyle I}$是源电流，${\displaystyle \mathbb {L} '}$是积分路径，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}$是源电流的微小线元素。

应用这方程，必须先选出磁场的场位置。固定这场位置，积分于源电流的路径，就可以计算出在场位置的磁场。请注意，这定律的应用，隐性地依赖着磁场的叠加原理成立；也就是说，每一个微小线段的电流所产生的磁场，其矢量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场，叠加原理成立，因为它们是一组线性微分方程的解答。更明确地说，它们是麦克斯韦方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线，上述这方程是正确的。但假若导线是宽厚的，则可用包含导线体积${\displaystyle \mathbb {V} '}$的积分方程：

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} }$是电流密度，${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'}$是微小体积元素。

毕奥-萨伐尔定律是静磁学的基本定律，在静磁学的地位，类同于库仑定律之于静电学。毕奥-萨伐尔定律和安培定律的关系，则如库仑定律之于高斯定律。

假若无法采用静磁近似，例如当电流随着时间变化太快，或当导线快速地移动时，就不能使用毕奥-萨伐尔定律，必须改用杰斐缅柯方程。

匀速运动的点电荷所产生的电场和磁场

由于点电荷的运动不能形成电流，所以，必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷${\displaystyle q}$以等速度${\displaystyle \mathbf {v} }$移动，在时间${\displaystyle t}$的位置为${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} t}$。那么，麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}$、

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle \mathbf {v} }$和${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {w} }$之间的夹角。

当${\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}$时，电场和磁场可以近似为

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}$、

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi }}\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}$。

这方程最先由奥利弗·亥维赛于1888年推导出来，称为毕奥-萨伐尔点电荷定律^[2]。

安培定律和高斯磁定律的导引

这里，我们要从毕奥-萨伐尔定律推导出安培定律和高斯磁定律^[1][2]。若想查阅此证明，请点选“显示”。

证明毕奥-萨伐尔定律所计算出来的磁场，永远满足高斯磁定律：

首先，列出毕奥-萨伐尔定律， ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$。 应用一个矢量恒等式， ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$， 将这恒等式带入毕奥-萨伐尔方程。由于梯度只作用于无单撇号的坐标，可以将梯度移到积分外： ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$。 应用一个矢量恒等式， ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$。 所以，高斯磁定律成立： ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$。

证明毕奥-萨伐尔定律所计算出来的磁场，永远满足安培定律：

首先，列出毕奥-萨伐尔定律： ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$。 任意两个矢量${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$和${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$的叉积，取其旋度，有以下矢量恒等式，： ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2})=(\mathbf {A} _{2}\cdot \nabla )\mathbf {A} _{1}-(\mathbf {A} _{1}\cdot \nabla )\mathbf {A} _{2}+\mathbf {A} _{1}(\nabla \cdot \mathbf {A} _{2})-\mathbf {A} _{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} _{1})}$， 取旋度于毕奥-萨伐尔方程的两边，稍加运算，可以得到 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{-[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ]{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\left[\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\right\}}$。 应用著名的狄拉克δ函数关系式 ${\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$， 可以得到 ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{-[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ]{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right\}\\&=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right\}\\\end{aligned}}}$。 注意到x-分量， ${\displaystyle [\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']{\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=\nabla '\cdot \left[\mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]-{\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}$。 由于电流是稳定的，${\displaystyle \nabla ^{'}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')=0}$，所以， ${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ))_{x}&=\mu _{0}J_{x}(\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\nabla '\cdot \left(\mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right)\\&=\mu _{0}J_{x}(\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\\\end{aligned}}}$； 其中，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} '}$是一个微小源面积元素，${\displaystyle \mathbb {S} '}$是体积${\displaystyle \mathbb {V} '}$外表的闭曲面。 这个公式右边第二项目是一个闭曲面积分，只与体积内所包含的被积函数，或体积外表曲面的电流密度有关。而体积可大可小，我们可以增大这体积，一直增大到外表的闭曲面没有任何净电流流出或流入，也就是说，电流密度等于零。这样，就可以得到安培定律。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$。

参阅

• 狭义相对论
• 矢量分析
• 散度定理
• 安培律

参考文献

1. Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義II（2）介電質、磁與感應定律. 台湾: 天下文化书. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6. 引文格式1维护：冗余文本 (link)