有单位的

在数学里，一代数结构是有单位的（unital 或 unitary），当它含有一乘法单位元素，即含有一元素 1，对所有此代数结构内的元素 x ，有 1x=x1=x 的性质。

上述说法和一代数结构为乘法上的幺半群的说法是等价的。和所有的幺半群一样，其乘法单位元也是唯一的。

大部分在抽象代数内被考虑的结合代数，如群代数、多项式代数和矩阵代数等都是有单位的，当环被假设必须如此时。大部分在数学分析内被考虑之函数的代数都没有单位，例如平方可积函数（于无界定义域内）的代数和于无限会降至零之函数的代数，尤其是在某些（非紧）集合上具有支集的函数。

给定两个单作代数A和B，一代数同态

f : A → B

为有单位的当其映射 A 的单位元映为 B 的单位元。

若数域 K 上的结合代数 A 没有单位，可如下加入一单位元：A×K为K-向量空间且如下定义乘法 * ，

(x,r) * (y,s) = (xy + sx + ry, rs)

其中 x 和 y 为 A 的元素及 r 和 s 为 K 的元素。然后，* 将为有单位元 (0,1) 的结合运算。旧代数 A 包含于新代数内，且 A×K 成为是包含 A 的最一般的有单位代数，在泛性质的意思之下。

根据环理论术语，一般假定乘法单位元存在于任一环内。依此假定，所有的环都会有单位，且所有的环同态也会是有单位，且（结合）代数有单位当且仅当其为环。作者若不把环当做都有乘法单位元，会把有乘法单位元的环称做有单位环（幺环），且把环单位元如单位元般作用在其上的模称做有单位模（幺模）。

参考文献