最小公分母

最小公分母（英文：least common denominator）是一个数学用语，指许多分数分母的最小公倍数，若分数相加减或比较时，可将分数通分，使其分母为相同数值，简化其运算过程。

在算术及代数中的角色

分数可以用不同的形式表示，只要分子和分母之间的比例维持不变，分数的数值就不会改变，因此以下的多个分数都是相等的：

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,\!000}{300,\!000}}}$

若数个分数的分母均相同时，要相加、相减及比较会最简单。例如${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}}$和${\displaystyle {\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}}$都是很简而易懂的，因为这些分数的分母相同。但${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}}$的数值或是${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$和${\displaystyle {\frac {11}{18}}}$的大小就比较困难，因为其分母不同。若将各分数通分，也就是将改写为分母为各分母公因数（公分母）的分数，即可处理此问题，其中数值最小的就是最小公分母^[1]

一组分数的最小公分母是所有分母的最小公倍数，所有分母的乘积也是公分母，例如：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}={\frac {7}{6}}}$

不过分母的乘积不一定是最小公分母：

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}}={\frac {37}{36}}}$

此处的最小公分母为36，其分母乘积216是公分母，但若将分数都通分为分母为216的数值，其运算过程中的数值较大：

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}}$

若处理的是变数而不是数字，也可以用相同的方式处理^[2]：

${\displaystyle {\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}={\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}={\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}}$

计算最小公分母的方式和计算最小公倍数的方法相同。

相关条目

• 最大公因数
• 部分分式分解：将分式改为由多个分母为较简单多项式分式和的形式
• 偶然对消

参考资料

1. Fractions. The World Book: Organized Knowledge in Story and Picture, Volume 3. Hanson-Roach-Fowler Company. 1918: 2285–2286.
2. Brooks, Edward. The Normal Elementary Algebra, Part 1. C. Sower Company. 1901: 80 [7 Jan 2014].