旋转不变性

在数学里，给予一个定义于内积空间的函数，假若对于任意旋转，函数的参数值可能会改变，但是函数的数值仍旧保持不变，则称此性质为旋转不变性（rotational invariance），或旋转对称性（rotational symmetry），因为函数对于旋转具有对称性。例如，假设以xyz-参考系的原点为固定点，任意旋转xyz-参考系，而函数 ${\displaystyle f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的数值保持不变，因此，函数 ${\displaystyle f(x,\,y,\,z)}$ 对于任意旋转具有不变性，或对于任意旋转具有对称性。

在物理学里，假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关，则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理，假若物理系统的作用量具有旋转不变性，则角动量守恒。

根据物理学家多年来仔细研究的结果，到目前为止，所有的物理基础定律都具有旋转不变性^[1]。

球对称位势范例

哈密顿算符的旋转不变性

假设一个量子系统的位势为球对称位势 ${\displaystyle V(r)}$ ，其哈密顿算符 ${\displaystyle H}$ 可以表示为

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)}$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$ 是质量，${\displaystyle r}$ 是径向距离。

现在，以 z-轴为旋转轴，旋转此系统的 x-轴与 y-轴 ${\displaystyle \theta }$ 角弧，则新直角坐标 ${\displaystyle \mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')}$ 与旧直角坐标的关系式为

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$ 、

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$ 、

${\displaystyle z'=z}$ 。

偏导数为

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}}}$ 。

那么，导数项目具有旋转不变性：

${\displaystyle \nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2}}$ 。

由于径向距离具有旋转不变性：

${\displaystyle r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r}$ ，

旋转之后，新的哈密顿算符 ${\displaystyle H'}$ 是

${\displaystyle H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H}$ 。

所以，球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

角动量守恒

假设一个量子系统的位势为球对称位势 ${\displaystyle V(r)}$ ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 ${\displaystyle R}$ 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 ${\displaystyle \delta \theta }$ 。则正弦函数与余弦函数可以分别近似为

${\displaystyle \sin \delta \theta \approx \delta \theta }$ 、

${\displaystyle \cos \delta \theta \approx 1}$ 。

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

${\displaystyle x'\approx x-y\delta \theta }$ 、

${\displaystyle y'\approx x\delta \theta +y}$ 、

${\displaystyle z'=z}$ 。

将 ${\displaystyle R}$ 作用于波函数 ${\displaystyle \psi (x,\,y,\,z)}$ ，

${\displaystyle R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}\psi (x,\,y,\,z)}$ ；

其中，${\displaystyle L_{z}}$ 是角动量的 z-分量，${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$ 。

所以，旋转算符 ${\displaystyle R}$ 可以表达为

${\displaystyle R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}}$ 。

假设 ${\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )}$ 是哈密顿算符的能级本征态，则

${\displaystyle H\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )}$ 。

由于 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 只是一个虚设变数，

${\displaystyle H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')}$ 。

在做一个微小旋转之后，

${\displaystyle RH\psi _{E}(\mathbf {r} )=RE\psi _{E}(\mathbf {r} )=ER\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')}$ 、

${\displaystyle HR\psi _{E}(\mathbf {r} )=H\psi _{E}(\mathbf {r} ')=H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')}$ 。

所以，${\displaystyle (RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0}$ 。哈密顿算符的能级本征态 ${\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )}$ 形成一组完备集 (complete set)，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

${\displaystyle [R,\,H]=0}$ 。

因此，

${\displaystyle [L_{z},\,H]=0}$ 。

根据埃伦费斯特定理，${\displaystyle L_{z}}$ 的期望值对于时间的导数是

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

由于 ${\displaystyle L_{z}}$ 显性地不含时间，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =0}$ 。

总结，${\displaystyle \langle L_{z}\rangle }$ 不含时间，${\displaystyle L_{z}}$ 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地，可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以，整个角动量守恒。

参阅

• 各向同性
• 轴对称
• 明显对称性破缺
• 麦克斯韦定理 (Maxwell's theorem)