弱测量

在量子力学（以及量子计算、量子信息）中，弱测量是一种量子测量，其观察者平均来说只获得很少的有关系统的信息，但对状态的干扰也很小。^[1]根据Paul Busch（英语：Paul_Busch_(physicist)）的定理^[2]可知，系统必然会受到测量的干扰。在文献中，弱测量也被称为不清晰（unsharp）^[3]、模糊（fuzzy）^[3] 、迟钝（dull）^[4] 、噪声式（noisy）^[5] 、渐进（approximate）^[6]或平和（gentle）的测量。此外，弱测量常常与一个不同但相关的概念“弱值”相混淆。^[7]

历史

弱测量最初是在量子系统^[8]的弱连续测量（即量子滤波和量子轨迹）的背景下考虑的。连续量子测量的物理学如下。考虑使用一个辅助系统（例如场或电流）来探测量子系统，系统和探测器之间的相互作用使两者相互关联。通常，相互作用仅使系统与辅助系统具有弱关联（具体而言，相互作用幺正算子仅需微扰展开到一阶或二阶）。通过测量辅助系统并利用量子测量理论，可以确定基于测量结果的系统状态。为了实现有效的测量，必须耦合进多个辅助系统并测量。在极限情况下，存在一系列辅助系统，使得测量过程可以在时间上是连续的。这一过程首先由以下学者表述：Michael B. Mensky; ^{[9] [10]} Viacheslav Belavkin; ^{[11] [12]} Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; ^[13] Barchielli; ^[14] Carlton Caves; ^{[15] [16]} Caves, Gerald J. Milburn. ^[17] 后来 Howard Carmichael ^[18]和 Howard M.Wiseman ^[19]也为该领域做出了重要贡献。

弱测量的概念经常被错误地归于 Yakir Aharonov 、 David Albert 和 Lev Vaidman 。^[7]在他们的文章中，他们考虑了一个弱的测量的例子（也许也撞上了“弱测量”这个短语），并以此作为动机来定义弱值（他们在此首次定义了弱值）。

数学表述

对于弱测量，尚无普遍接受的定义。一种方法是将弱测量声明为这样一种广义测量，其克劳斯算子中的一些或全部接近于恒等算子。^[20]下面采用的方法是使两个系统发生弱相互作用，然后测量其中一个系统。^[21]详细介绍这种方法之后，我们将通过示例进行说明。

弱相互作用和辅助耦合测量

考虑一个系统，其初始的量子态为 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ，同时辅助系统处于 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ，联合的初始状态则为 ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ 。这两个系统依照哈密顿算子 ${\displaystyle H=A\otimes B}$ 相互作用，其生成的时间演化算子 ${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$ （取 ${\displaystyle \hbar =1}$ 的单位制）， 其中 ${\displaystyle x}$ 是“相互作用强度”且具有时间倒数的量纲。假设相互作用时间固定为 ${\displaystyle t=\Delta t}$ 且 ${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$ 很小以至于 ${\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0}$ 。 ${\displaystyle U}$ 关于 ${\displaystyle \lambda }$ 的级数展开给出

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

由于在微扰论中只需要将幺正算子展开到低阶，所以称其为一个弱的相互作用。此外，幺正算子的主要部分是恒等算子，因为 ${\displaystyle \lambda }$ 和 ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ 很小，这意味着相互作用后的状态与初始状态并没有太多区别。相互作用后系统的联合状态为

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

现在我们对辅助系统进行测量来了解系统，这称为辅助系统耦合测量。我们将考虑（辅助系统上的）在基 ${\displaystyle |q\rangle }$ 下的测量，其中 ${\displaystyle |q\rangle }$ 满足 ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ 。两个系统上的测量都由到联合状态 ${\displaystyle |\Psi '\rangle }$ 的投影算子 ${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$ 来描述。从量子测量理论可知测量后的条件状态是

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

其中 ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ 是归一化因子。注意辅助系统状态记录了测量的结果。 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ 是系统的希尔伯特空间上的算子，称为克劳斯算子。

在这些克劳斯算子对应的测量后，联合系统的状态为

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

算子 ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$ 是所谓的正算子测量的元素，其须满足 ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ 从而使得相应的概率之和为一： ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$ 。由于辅助系统不再关联于主系统，它只是记录测量的结果，我们可以迹掉它。这做法将给出主系统本身的条件状态：

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

这里仍用 ${\displaystyle q}$ 标记测量结果。事实上，这些考虑使得人们得以导出量子轨迹。

克劳斯算子示例

我们将使用 Barchielli, Lanz, Prosperi^[13]以及 Caves, Milburn^[17]给出的高斯型克劳斯算子的典型例子。取 ${\displaystyle H=x\otimes p}$ ，其中两个系统的位置和动量算子满足通常的正则对易关系 ${\displaystyle [x,p]=i}$ 。取辅助系统的初态为一高斯分布

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

辅助系统的位置波函数为

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

前文的克劳斯算子（在前文的表达式中取 ${\displaystyle \lambda =1}$ ）为

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

而相应的正算子测量的元素是

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

且服从 ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ 。在文献中经常能看到另一种表现形式。使用位置算子的谱表示 ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ ，有

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

注意 ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ 。^[17]也就是说，在特定的极限下，这些算子趋于对位置的强测量；对于 ${\displaystyle \sigma }$ 的其他值，这种测量则称为是有限强度的；对于 ${\displaystyle \sigma \to \infty }$ 的极限情况，则说测量是弱的。

信息获取与状态扰动的得失交换

如前所述，Busch的定理^[2]阻止了免费午餐的出现：没有对态的扰动就无法取得信息。然而，信息获取和态的扰动间的得失交换已被许多作者刻画，其中包括 C.A. Fuchs 和 Asher Peres;^[22] Fuchs; ^[23] Fuchs, KA. Jacobs;^[24] K. Banaszek. ^[25]

最近，人们在所谓的“温和测量引理”的语境下检验了信息获取与态的扰动间的交换关系。^[6][26]

应用

从很早以前就已经很清楚，弱测量的主要用途是用于量子系统的反馈控制或自适应测量。事实上，这是 Belavkin 大部分工作的动机，而 Caves 和 Milburn 也给出了一个明确的例子。自适应弱测量的一个早期应用是Dolinar接收器（英语：Dolinar receiver），^[27]该接收器已在实验上实现。^[28][29]弱测量的另一个有趣的应用是使用弱测量，然后跟一个幺正算子（可能依赖于弱测量的结果）来合成其他广义测量。^[20] Wiseman 和 Milburn 的书^[21]是关于许多现代发展的良好参考资料。

延伸阅读

• Brun 的文章^[1]
• Jacobs 和 Steck的文章^[30]
• Jacobs, Kurt. Quantum measurement theory and its applications. Cambridge ; New York: Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-02548-6.
• ]Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. Quantum Measurement and Control. Cambridge; New York: Cambridge University Press. 2009: 460. ISBN 978-0-521-80442-4.
• Tamir 和 Cohen 的文章^[31]

参考资料

1. Todd A Brun. A simple model of quantum trajectories. Am. J. Phys. 2002, 70 (7): 719–737. Bibcode:2002AmJPh..70..719B. S2CID 40746086. arXiv:quant-ph/0108132 . doi:10.1119/1.1475328.
2. Paul Busch. J. Christian; W.Myrvold , 编. "No Information Without Disturbance": Quantum Limitations of Measurement. The University of Western Ontario Series in Philosophy of Science. Invited contribution, "Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle: An International Conference in Honour of Abner Shimony", Perimeter Institute, Waterloo, Ontario, Canada, July 18–21, 2006 73 (Springer-Verlag, 2008). 2009: 229–256. ISBN 978-1-4020-9106-3. ISSN 1566-659X. arXiv:0706.3526 . doi:10.1007/978-1-4020-9107-0. Editors list列表缺少|last2= (帮助)
3. Gudder, Stan. Non-disturbance for fuzzy quantum measurements. Fuzzy Sets and Systems. 2005, 155 (1): 18–25. doi:10.1016/j.fss.2005.05.009.
4. Asher Peres. Quantum Theory, Concepts and Methods. Kluwer. 1993: 387. ISBN 978-0-7923-2549-9.
5. A. N. Korotkov. Y. v. Nazarov , 编. Quantum Noise in Mesoscopic Physics. Springer Netherlands. 2003: 205–228. ISBN 978-1-4020-1240-2. arXiv:cond-mat/0209629 . doi:10.1007/978-94-010-0089-5_10.
6. A. Winter. Coding Theorem and Strong Converse for Quantum Channels. IEEE Trans. Inf. Theory. 1999, 45 (7): 2481–2485. S2CID 15675016. arXiv:1409.2536 . doi:10.1109/18.796385.
7. Yakir Aharonov; David Z. Albert & Lev Vaidman. How the result of a measurement of a component of the spin of a spin-1/2 particle can turn out to be 100. Physical Review Letters. 1988, 60 (14): 1351–1354. Bibcode:1988PhRvL..60.1351A. PMID 10038016. S2CID 46042317. doi:10.1103/PhysRevLett.60.1351.
8. A. Clerk; M. Devoret; S. Girvin; F. Marquardt; R. Schoelkopf. Introduction to quantum noise, measurement, and amplification. Rev. Mod. Phys. 2010, 82 (2): 1155–1208. Bibcode:2010RvMP...82.1155C. S2CID 119200464. arXiv:0810.4729 . doi:10.1103/RevModPhys.82.1155.
9. M. B. Mensky. Quantum restrictions for continuous observation of an oscillator. Phys. Rev. D. 1979, 20 (2): 384–387. Bibcode:1979PhRvD..20..384M. doi:10.1103/PhysRevD.20.384.
10. M. B. Menskii. Quantum restrictions on the measurement of the parameters of motion of a macroscopic oscillator. Zhurnal Éksperimental'noĭ i Teoreticheskoĭ Fiziki. 1979, 77 (4): 1326–1339 [2024-04-28]. Bibcode:1979JETP...50..667M. （原始内容存档于2018-01-09）.
11. V. P. Belavkin. Quantum filtering of Markov signals with white quantum noise. Radiotechnika I Electronika. 1980, 25: 1445–1453.
12. V. P. Belavkin. Quantum continual measurements and a posteriori collapse on CCR. Commun. Math. Phys. 1992, 146 (3): 611–635. Bibcode:1992CMaPh.146..611B. S2CID 17016809. arXiv:math-ph/0512070 . doi:10.1007/bf02097018.
13. A. Barchielli; L. Lanz; G. M. Prosperi. A model for the macroscopic description and continual observations in quantum mechanics. Il Nuovo Cimento B. 1982, 72 (1): 79–121. Bibcode:1982NCimB..72...79B. S2CID 124717734. doi:10.1007/BF02894935.
14. A. Barchielli. Measurement theory and stochastic differential equations in quantum mechanics. Phys. Rev. A. 1986, 34 (3): 1642–1649. Bibcode:1986PhRvA..34.1642B. PMID 9897442. doi:10.1103/PhysRevA.34.1642.
15. Carlton M. Caves. Quantum mechanics of measurements distributed in time. A path-integral formulation. Phys. Rev. D. 1986, 33 (6): 1643–1665. Bibcode:1986PhRvD..33.1643C. PMID 9956814. doi:10.1103/PhysRevD.33.1643.
16. Carlton M. Caves. Quantum mechanics of measurements distributed in time. II. Connections among formulations. Phys. Rev. D. 1987, 35 (6): 1815–1830. Bibcode:1987PhRvD..35.1815C. PMID 9957858. doi:10.1103/PhysRevD.35.1815.
17. Carlton M. Caves; G. J. Milburn. Quantum-mechanical model for continuous position measurements (PDF). Phys. Rev. A. 1987, 36 (12): 5543–5555. Bibcode:1987PhRvA..36.5543C. PMID 9898842. doi:10.1103/PhysRevA.36.5543.
18. Carmichael, Howard. An open systems approach to quantum optics, Lecture Notes in Physics. Springer. 1993.
19. Wiseman, Howard Mark. Quantum trajectories and feedback (PhD论文). University of Queensland. 1994 [2024-04-28]. （原始内容存档于2022-10-28）.
20. O. Oreshkov; T. A. Brun. Weak Measurements Are Universal. Phys. Rev. Lett. 2005, 95 (11): 110409. Bibcode:2005PhRvL..95k0409O. PMID 16196989. S2CID 43706272. arXiv:quant-ph/0503017 . doi:10.1103/PhysRevLett.95.110409.
21. Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. Quantum Measurement and Control. Cambridge; New York: Cambridge University Press. 2009: 460. ISBN 978-0-521-80442-4.
22. C. A. Fuchs; A. Peres. Quantum-state disturbance versus information gain: Uncertainty relations for quantum information. Phys. Rev. A. 1996, 53 (4): 2038–2045. Bibcode:1996PhRvA..53.2038F. PMID 9913105. S2CID 28280831. arXiv:quant-ph/9512023 . doi:10.1103/PhysRevA.53.2038.
23. C. A. Fuchs. Information Gain vs. State Disturbance in Quantum Theory. 1996. Bibcode:1996quant.ph.11010F. arXiv:quant-ph/9611010 .
24. C. A. Fuchs; K. A. Jacobs. Information-tradeoff relations for finite-strength quantum measurements. Phys. Rev. A. 2001, 63 (6): 062305. Bibcode:2001PhRvA..63f2305F. S2CID 119476175. arXiv:quant-ph/0009101 . doi:10.1103/PhysRevA.63.062305.
25. K. Banaszek. Quantum-state disturbance versus information gain: Uncertainty relations for quantum information. Open Syst. Inf. Dyn. 2006, 13: 1–16. S2CID 35809757. arXiv:quant-ph/0006062 . doi:10.1007/s11080-006-7263-8.
26. T. Ogawa; H. Nagaoka. Strong Converse to the Quantum Channel Coding Theorem. IEEE Trans. Inf. Theory. 1999, 45 (7): 2486–2489. Bibcode:2002quant.ph..8139O. S2CID 1360955. arXiv:quant-ph/9808063 . doi:10.1109/18.796386.
27. S. J. Dolinar. An optimum receiver for the binary coherent state quantum channel (PDF). MIT Research Laboratory of Electronics Quarterly Progress Report. 1973, 111: 115–120 [2024-04-28]. （原始内容存档 (PDF)于2023-02-25）.
28. R. L. Cook; P. J. Martin; J. M. Geremia. Optical coherent state discrimination using a closed-loop quantum measurement. Nature. 2007, 446 (11): 774–777. Bibcode:2007Natur.446..774C. PMID 17429395. S2CID 4381249. doi:10.1038/nature05655.
29. F. E. Becerra; J. Fan; G. Baumgartner; J. Goldhar; J. T. Kosloski; A. Migdall. Experimental demonstration of a receiver beating the standard quantum limit for multiple nonorthogonal state discrimination. Nature Photonics. 2013, 7 (11): 147–152. Bibcode:2013NaPho...7..147B. S2CID 41194236. doi:10.1038/nphoton.2012.316.
30. K. Jacobs; D. A. Steck. A straightforward introduction to continuous quantum measurement. Contemporary Physics. 2006, 47 (5): 279–303. Bibcode:2006ConPh..47..279J. S2CID 33746261. arXiv:quant-ph/0611067 . doi:10.1080/00107510601101934.
31. Boaz Tamir; Eliahu Cohen. Introduction to Weak Measurements and Weak Values. Quanta. 2013, 2 (1): 7–17. doi:10.12743/quanta.v2i1.14 .