弗洛凯理论

弗洛凯理论（Floquet theory）是常微分方程理论的一种，讨论有关下列微分方程类型的解答类别，

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$,

其中，A(t)是一周期为T的连续周期函数。

弗洛凯理论的主要定理－弗洛凯定理给出了一般线性系统的每个基本解的正规形式。它给定了一座标转变${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$，其中${\displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$，用以来转变周期系统至有常数及实系数的传统线性系统。

在固态物理中，其类比的结果(推广至三维)为布洛赫定理。

弗洛凯定理

X=A（t）x

其中，A(t)是一周期为T的连续周期函数。

弗洛凯理论的主要定理－弗洛凯定理给出了一般线性系统的每个基本解的正规形式。它给定了一座标转变${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$，其中${\displaystyle Q(t+T)=Q(t)}$，用以来转变周期系统至有常数及实系数的传统线性系统。

在固态物理中，其类比的结果（推广至三维）为布洛赫定理。

结论与应用

量子力学中，含时薛定谔方程为${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}(t)|\psi (t)\rangle }$。 如果哈密顿量${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$满足周期性边界条件${\displaystyle {\hat {H}}(t+T)={\hat {H}}(t)}$，${\displaystyle T=2\pi /\omega }$，可以假定含时薛定谔方程的解为${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i\epsilon t}|\phi (t)\rangle }$，其中，${\displaystyle |\phi (t)\rangle }$应满足${\displaystyle |\phi (t+T)\rangle =|\phi (t)\rangle }$。 则原含时薛定谔方程变换为一个新的类似定态的薛定谔方程

${\displaystyle \underbrace {\left({{\hat {H}}(t)-i{\frac {\partial }{\partial t}}}\right)} _{\hat {\mathcal {H}}}\left|{\phi (t)}\right\rangle =\varepsilon \left|{\phi (t)}\right\rangle }$

其中${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}}$为新的Floquet哈密顿量，${\displaystyle \varepsilon }$为准能量，${\displaystyle |\phi (t)\rangle }$被称为Floquet态。

参考

• Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
• Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).
• https://qutip.org/docs/4.1/guide/dynamics/dynamics-floquet.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）