帕斯卡定理

帕斯卡定理指圆锥曲线的内接六边形其三条对边的交点共线。它与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。（当这个圆锥曲线退化成两条直线时，帕斯卡定理就会变成帕普斯定理）

该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但并未证明，是射影几何中的一个重要定理。

证明

圆

如图，如果圆锥曲线是一圆，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。

延长AB、CD、EF，分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成△LMN。

利用梅涅劳斯定理：

直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点，则${\displaystyle {\frac {LB}{MB}}\cdot {\frac {MC}{NC}}\cdot {\frac {NH}{LH}}=1}$…①

直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点，则${\displaystyle {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MD}{ND}}\cdot {\frac {NE}{LE}}=1}$…②

直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点，则${\displaystyle {\frac {LA}{MA}}\cdot {\frac {MK}{NK}}\cdot {\frac {NF}{LF}}=1}$…③

连BE，则${\displaystyle {\frac {LE}{LB}}\cdot {\frac {LF}{LA}}=1}$…④。同理${\displaystyle {\frac {MA}{MD}}\cdot {\frac {MB}{MC}}=1}$…⑤，${\displaystyle {\frac {NC}{NF}}\cdot {\frac {ND}{NE}}=1}$…⑥。

将①②③④⑤⑥相乘，得${\displaystyle {\frac {NH}{LH}}\cdot {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MK}{NK}}=1}$。

∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上，∴H、G、K三点共线。

其余圆锥曲线

任何非退化圆锥曲线皆可经由投影变换投影成圆，故帕斯卡定理于其他圆锥曲线亦成立。

参见

• 布列安桑定理
• 帕普斯定理
• 笛沙格定理