小十二面二十面体

小十二面二十面体是一种星形均匀多面体，由20个正六边形和12个正十边形组成^[1]，索引为U₅₀，对偶多面体为小十二面二十面六十面体（英语：Small dodecicosacron）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）^[3][1][4]，并且可以视为小二十面化截半二十面体的刻面（英语：Faceting）多面体^[5]。

小十二面二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小十二面二十面六十面体（英语：Small dodecicosacron）
识别
名称	小十二面二十面体 small dodecicosahedron small dodekicosahedron
参考索引	U50, C64, W90
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	siddy
性质
面	32
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=32, E=120, V=60 （χ=-28）
组成与布局
面的种类	20个正六边形 12个正十边形
顶点图	6.10.6/5.10/9
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
6.10.6/5.10/9 （顶点图） 小十二面二十面六十面体（英语：Small dodecicosacron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

小十二面二十面体共由32个面、120条边和60个顶点组成^[3]。在其32个面中，有20个面是正六边形面、12个面是正十边形面^[1]，其中的20个正六边形面又可以再分成10个一般的正六边形面（施莱夫利符号：{6}）和10个反向相接的正六边形面（施莱夫利符号：{6/5}）；其12个正十边形面又可以再分成6个一般的正十边形面（施莱夫利符号：{10}）和6个反向相接的正十边形面（施莱夫利符号：{10/9}）^[6]。在其60个顶点中，每个顶点都是两个正十边形面和两个正六边形面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正十边形、正六边形、反向相接的正十边形和反向相接的正六边形的顺序排列，在顶点图中可以用(5.6.5/3.6)^[7]或(10.6.10/9.6/5)^[6][3]来表示。

尺寸

若小十二面二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[2][1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.72148932}$

边长为单位长的小十二面二十面体，中分球半径为：^[1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.647278207}$

二面角

小十二面二十面体共有两种二面角，皆为六边形和十边形的二面角，但根据所在位置的不同，其角度也不同。这两种二面角分别位于五角星坑洞的位置以及三角形坑洞的位置。^[5]

其中，位于五角星坑洞位置的六边形和十边形的二面角，其角度约为79.18768度：^[5][1]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.382085796\approx 79.187683036^{\circ }}$

而位于五角星坑洞位置的六边形和十边形的二面角，其角度约为79.18768度：^[5][1]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.65235813978\approx 37.377368141^{\circ }}$

相关多面体

小十二面二十面体与大星形截角十二面体共用相同的顶点布局。其也与小双三角十二面截半二十面体和小二十面化截半二十面体共用相同的边布局。^[5]

大星形截角十二面体

小二十面化截半二十面体

小双三角十二面截半二十面体

小十二面二十面体

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）

参考文献

1. David I. McCooey. Versi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Dodecicosahedron. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-02-14）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Small Dodecicosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Maeder, Roman. 50: small dodecicosahedron. MathConsult. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
5. Richard Klitzing. small dodekicosahedron, siddy. bendwavy.org. [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-09-24）.
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #55, small dodecicosahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-23）.
7. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.